Analisi 1 - Richiami di teoria

Un numero \(M \in \mathbb{R}\) è maggiorante di un insieme \(A \subseteq \mathbb{R}\) se:

\[ \forall a \in A, \quad a \leq M \]

Cioè, tutti gli elementi dell'insieme sono minori o uguali a \(M\).

Un numero \(m \in \mathbb{R}\) è minorante di un insieme \(A \subseteq \mathbb{R}\) se:

\[ \forall a \in A, \quad a \geq m \]

Cioè, tutti gli elementi dell'insieme sono maggiori o uguali a \(m\).

Un elemento \(M \in A\) è il massimo dell’insieme \(A\) se:

• \(M\) è maggiorante di \(A\),
• e \(M \in A\).

In simboli:

\[ \forall a \in A, \quad a \leq M \quad \text{e} \quad M \in A \]

Un elemento \(m \in A\) è il minimo dell’insieme \(A\) se:

• \(m\) è minorante di \(A\),
• e \(m \in A\).

In simboli:

\[ \forall a \in A, \quad a \geq m \quad \text{e} \quad m \in A \]

Sia \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) una funzione derivabile in un punto \(x_0\). Si dice che \(x_0\) è un punto stazionario di \(f\) se:

\[ f'(x_0) = 0 \]

Cioè, la derivata della funzione si annulla in quel punto.

Significato intuitivo :

Nel punto \(x_0\), la pendenza della tangente è zero ⇒ la tangente è orizzontale. Questo succede tipicamente in:

• massimi locali
• minimi locali
• punti di flesso orizzontali

Un punto \(x \in \mathbb{R}\) è un punto di accumulazione di un insieme \(A \subseteq \mathbb{R}\) se:

\[ \forall \varepsilon > 0, \; \exists a \in A \setminus \{x\} \; \text{tale che} \; |a - x| < \varepsilon \]

Cioè, in ogni intorno di \(x\) ci sono infiniti punti di \(A\) diversi da \(x\).

Un punto \(x \in \mathbb{R}\) è un punto di bordo di un insieme \(A\) se:

\[ \forall \varepsilon > 0, \; B_\varepsilon(x) \cap A \neq \emptyset \; \text{e} \; B_\varepsilon(x) \cap (\mathbb{R} \setminus A) \neq \emptyset \]

Cioè, ogni intorno di \(x\) contiene almeno un punto di \(A\) e almeno un punto non in \(A\).

Ecco una rappresentazione grafica dell'insieme \(A = (1, 4) \cup \{5, 6\}\):

• Il tratto blu rappresenta l'intervallo aperto \((1, 4)\), che non include i bordi 1 e 4.
• I punti blu scuro (cerchi pieni) a \(x = 5\) e \(x = 6\) sono punti isolati di \(A\).
• Il punto rosso a \(x = 6\) è il massimo di \(A\).
• Il punto verde a \(x = 4\) è un punto di accumulazione.
• I punti ciano a \(x = 1\) e \(x = 5\) sono punti di bordo.
• 1 è punto di bordo Ogni intorno di 1 contiene punti di \(A\) (perché \(A\) contiene tutti i numeri maggiori di 1) ma 1 non appartiene ad \(A\) (l'intervallo è aperto) Quindi: 1 è punto di bordo.
• 4 è punto di bordo Ogni intorno di 4 contiene punti di \(A\) (da sinistra). 4 non appartiene ad \(A\). Quindi: 4 è punto di bordo.
• 5 è punto di bordo 5 appartiene ad \(A\), ma ogni intorno contiene anche numeri vicini (come 5.01, 4.99) non in \(A\). Quindi: 5 è punto di bordo.
• 6 è punto di bordo Anche 6 è isolato: ogni suo intorno contiene punti non in \(A\), e 6 stesso è in \(A\). Quindi: 6 è punto di bordo.

Conclusione: il bordo di \(A\) è \[\boxed{\{1, 4, 5, 6\}}\]

L’**interno** di un insieme è l’insieme di tutti i punti interni, cioè quei punti per cui esiste un intorno completamente contenuto in \(A\). Ogni punto di \((1, 4)\) ha un intorno interamente contenuto in \(A\) ⇒ fanno parte dell’interno. I punti 5 e 6 non hanno intorni che stanno interamente in \(A\) (sono isolati).

Quindi:

\[ \text{interno}(A) = (1, 4) \]

L’**esterno** è l’insieme dei punti che hanno un intorno disgiunto da \(A\), cioè completamente fuori da \(A\). Qualunque punto molto lontano da \(A\), ad esempio \(0\), \(10\), o anche \(4.5\), ha un piccolo intorno che non tocca \(A\). Tuttavia, punti vicini a 1, 4, 5, 6 sono troppo vicini a \(A\) per avere intorni disgiunti.

Quindi:

\[ \text{esterno}(A) = (-\infty, 1) \cup (4, 5) \cup (6, +\infty) \]

—

La chiusura di un insieme è data da:

\[ \text{chiusura}(A) = A \cup \text{bordo}(A) \]

Abbiamo:

• \(A = (1, 4) \cup \{5, 6\}\)
• Bordo di \(A\) = \(\{1, 4, 5, 6\}\)

Quindi:

Chiusura:

\[ \text{chiusura}(A) = [1, 4] \cup \{5, 6\} \]

Nota che l'intervallo \((1,4)\) diventa chiuso in \([1,4]\) nella chiusura.

Concetto	Insieme risultante
Interno	\((1, 4)\)
Esterno	\((-\infty, 1) \cup (4, 5) \cup (6, +\infty)\)
Bordo	\(\{1, 4, 5, 6\}\)
Chiusura	\([1, 4] \cup \{5, 6\}\)

Ecco la rappresentazione grafica dei concetti topologici per l’insieme \(A = (1, 4) \cup \{5, 6\}\):

1. Interno: solo i punti dell’intervallo aperto \((1, 4)\).
2. Esterno: tutte le zone completamente fuori da \(A\), cioè prima di 1, tra 4 e 5, e dopo 6.
3. Bordo: i punti \(\{1, 4, 5, 6\}\), evidenziati come cerchi rossi.
4. Chiusura: unisce tutto \(A\) più i suoi punti di bordo, cioè \([1, 4] \cup \{5, 6\}\).

Se vuoi, posso anche farti un riepilogo simbolico su un’unica linea con notazione grafica tipo diagramma o timeline!