Analisi 1 - Teoremi Vari in \(R\)

• Per ogni "tolleranza" \( \epsilon \) sull'output \( f(x) \), esiste un intorno \( (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \) in cui \( f(x) \) rimane entro \( L \pm \epsilon \).

Esempio: Dimostrare che \( \lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5 \).

Per ogni \( \epsilon > 0 \), scegliendo \( \delta = \frac{\epsilon}{3} \), la definizione è soddisfatta.

1. Limite infinito: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0, \exists \delta > 0 \text{ tale che } 0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) > M. \]
2. Limite per \( x \to \infty \) \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists N > 0 \text{ tale che } x > N \implies |f(x) - L| < \epsilon. \]

• Fondamento dell'analisi: Tutti i concetti di continuità, derivata e integrale si basano sui limiti.
• Verifica rigorosa: Evita intuizioni errate (es. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) non è ovvio senza una dimostrazione ε-δ).

• Geometrica: La derivata \( f'(x_0) \) rappresenta la pendenza della retta tangente al grafico di \( f \) nel punto \( (x_0, f(x_0)) \).
• Fisica: Corrisponde alla velocità istantanea di variazione di \( f \) in \( x_0 \).

Esempio: Calcolare la derivata di \( f(x) = x^2 \) in \( x_0 = 3 \).

La derivata soddisfa le seguenti proprietà:

1. Linearità: \[ (af + bg)' = af' + bg'\]
2. Regola del Prodotto: \[ (f \cdot g)' = f'g + fg' \]
3. Regola della Catena: \[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

Funzione: \( f(x) = |x| \) in \( x_0 = 0 \).

• Il rapporto incrementale destro e sinistro sono diversi: \[ \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1, \quad \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1 \]
• Conclusione: \( f \) non è derivabile in \( 0 \) (punto angoloso).

• Ottimizzazione: Trova massimi/minimi (es. in economia o fisica).
• Equazioni Differenziali: Modellano fenomeni dinamici (es. crescita di popolazioni).

\( f \) è differenziabile in \( x_0 \) se esiste un numero \( m \in \mathbb{R} \) (la derivata \( f'(x_0) \)) tale che:

\[f(x_0 + h) = f(x_0) + m h + o(h) \quad \text{per } h \to 0,\]

dove \( o(h) \) è un termine di errore che soddisfa:

\[\lim_{h \to 0} \frac{o(h)}{h} = 0.\]

Esiste una retta \( y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \) (tangente) che approssima \( f \) intorno a \( x_0 \) con errore trascurabile rispetto a \( |h| \).

Funzione: \( f(x) = x^2 \) in \( x_0 = 1 \).

• Approssimazione lineare: La retta tangente \( y = 1 + 2(x - 1) \) approssima \( f(x) = x^2 \) vicino a \( x = 1 \).
• Errore: L'errore \( h^2 \) è "più piccolo" di \( h \) per \( h \to 0 \) (es. se \( h = 0.1 \), \( h^2 = 0.01 \)).

Se \( f \) è differenziabile in \( x_0 \), allora è continua in \( x_0 \).

Se una funzione continua "parte da un valore negativo e arriva a uno positivo" (o viceversa), deve necessariamente attraversare lo zero almeno una volta.

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Sia \(f(x) = x^2 - 2\), e consideriamo l’intervallo \([1, 2]\):

• \(f(1) = 1^2 - 2 = -1\)
• \(f(2) = 4 - 2 = 2\)
• \(f\) è continua in \([1, 2]\)
• \(f(1) \cdot f(2) = -1 \cdot 2 < 0\)

⇒ Per il teorema degli zeri, esiste \(c \in (1, 2)\) con \(f(c) = 0\), cioè:

\[ c = \sqrt{2} \]

(La dimostrazione è simile se \(f(a) > 0\) e \(f(b) < 0\))

Dimostrazione (con metodo di bisezione + completezza dei reali)

• La curva blu rappresenta la funzione continua \(f(x) = x^3 - x - 1\).
• Il punto rosso è \(f(a) < 0\), e il punto verde è \(f(b) > 0\), con \(a = 1\), \(b = 2\).
• Il punto nero è \(c\), lo zero garantito dal teorema: \(f(c) = 0\).

• La linea tratteggiata nera mostra visivamente che la funzione attraversa l’asse \(x\), cioè si annulla in un punto \(c \in (a, b)\).

  Questa è proprio la situazione descritta dal teorema: se una funzione continua cambia segno in un intervallo, deve annullarsi almeno una volta all’interno. Vuoi che ti mostri anche il procedimento numerico per trovare \(c\) (es. con metodo di bisezione)?

La dimostrazione si basa su due proprietà chiave degli intervalli chiusi e limitati:

1. Compattezza (per successioni) di \([a, b]\).
2. Continuità di \( f \), che preserva la convergenza.

Supponiamo per assurdo che \( f \) non sia limitata superiormente. Allora, per ogni \( n \in \mathbb{N} \), esiste \( x_n \in [a, b] \) tale che: \[ f(x_n) > n. \] La successione \( \{x_n\} \) è contenuta in \([a, b]\), che è compatto (per il Teorema di Bolzano-Weierstrass). Quindi, esiste una sottosuccessione \( \{x_{n_k}\} \) convergente a un punto \( x_0 \in [a, b] \).

Per la continuità di \( f \): \[ \lim_{k \to +\infty} f(x_{n_k}) = f(x_0) \quad (\text{che è un valore finito}). \] Ma per costruzione \( f(x_{n_k}) > n_k \), e poiché \( n_k \to +\infty \), si avrebbe \( f(x_0) = +\infty \), il che è assurdo perché \( f(x_0) \in \mathbb{R} \).

Conclusione: \( f \) è limitata superiormente.

Sia \( M = \sup_{x \in [a, b]} f(x) \). Per definizione di estremo superiore, esiste una successione \( \{y_n\} \subseteq [a, b] \) tale che: \[ \lim_{n \to +\infty} f(y_n) = M. \] Di nuovo, per compattezza, esiste una sottosuccessione \( \{y_{n_k}\} \) convergente a un punto \( y_0 \in [a, b] \). Per continuità: \[ f(y_0) = \lim_{k \to +\infty} f(y_{n_k}) = M. \] Quindi \( y_0 \) è un punto di massimo assoluto.

Ripetendo il ragionamento con \( -f \) (che è anch’essa continua), si dimostra l’esistenza del minimo assoluto.

Conclusione Abbiamo mostrato che \( f \) ammette sia massimo che minimo assoluti in \([a, b]\).

Osservazioni

• L’ipotesi di intervallo chiuso e limitato è essenziale. Ad esempio, \( f(x) = x \) su \( (0, 1) \) non ha massimo.
• La continuità è cruciale: una funzione discontinua come \( f(x) = 1/x \) su \( (0, 1] \) non è limitata.

• La funzione \(f(x) = \sin(x) + 0.5x\) è continua su \([0, 2\pi]\)
• Il punto verde è il minimo assoluto (valore più basso)
• Il punto rosso è il massimo assoluto (valore più alto)

Come garantito dal teorema, entrambi esistono e si trovano nell’intervallo chiuso.

NB : se l’intervallo non è chiuso o limitato il teorema non vale più!

Considera \( f(x) = \sin(x) \) su \([0, \pi]\):

1. \( f(0) = f(\pi) = 0 \).
2. Per Weierstrass, \( f \) ha massimo in \( c = \pi/2 \).
3. Per Fermat, in \( c = \pi/2 \) la derivata \( f'(\pi/2) = \cos(\pi/2) = 0 \).

Senza Fermat, non potremmo concludere che \( f'(c) = 0 \) nei punti di max/min!

1. Rappresentazione della funzione:

   • Disegniamo \( f(x) \) continua su \([a, b]\) con \( f(a) = f(b) \).
   • Se \( f \) non è costante, deve "salire e/o scendere" per poi ritornare al valore iniziale.

           f(x)
             |
   f(a)=f(b) |-----•-------•
             |     /       \
             |    /         \
             |___/___________\___ x
                 a           b
   

2. Interpretazione geometrica:

   • La derivata \( f'(c) \) rappresenta la pendenza della retta tangente.
   • Nel punto \( c \) dove \( f \) raggiunge un massimo o minimo, la tangente è orizzontale (\( f'(c) = 0 \)).

   f(x)
    |
    |      /•\  
    |     /   \
    |____/_____\___ x
            c
   

Sia \( f(x) = x^3 - 3x^2 \) su \([0, 3]\).

1. Verifica ipotesi:
   • \( f(0) = 0 \) e \( f(3) = 0 \) ⇒ \( f(0) = f(3) \).
   • \( f \) è continua e derivabile su tutto \( \mathbb{R} \).
2. Calcolo del punto critico:
   • \( f'(x) = 3x^2 - 6x \).
   • \( f'(c) = 0 \Rightarrow 3c^2 - 6c = 0 \Rightarrow c = 0 \) o \( c = 2 \).
   • Solo \( c = 2 \) è interno a \( (0, 3) \).

Conclusione: Il punto \( c = 2 \) soddisfa \( f'(2) = 0 \).

• Ipotesi necessarie:
  • Se \( f \) non è continua o derivabile, il teorema può fallire (es. \( f(x) = |x| \) su \([-1, 1]\)).
  • Se \( f(a) \neq f(b) \), non è garantito che \( f'(c) = 0 \) (es. \( f(x) = x \) su \([0, 1]\)).
• Generalizzazione: È un caso speciale del Teorema di Lagrange (o del valor medio).

1. Disegna il grafico di \( f(x) \) sull'intervallo \([a, b]\).
2. Traccia la retta secante passante per \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\):
   • La sua equazione è: \[ y = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) + f(a). \]

Per applicare Rolle, definiamo una funzione \( g(x) \) che misura la distanza verticale tra \( f(x) \) e la secante: \[ g(x) = f(x) - \left[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) + f(a) \right]. \]

• Proprietà di \( g(x) \):
  • \( g(a) = g(b) = 0 \) (per costruzione).
  • \( g \) è continua su \([a, b]\) e derivabile su \((a, b)\) (perché \( f \) lo è).

Per Rolle, esiste \( c \in (a, b) \) tale che \( g'(c) = 0 \). Calcoliamo \( g'(x) \): \[ g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \] Imponendo \( g'(c) = 0 \): \[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \]

Interpretazione grafica:

• Nel punto \( c \), la tangente a \( f(x) \) è parallela alla secante.

Sia \( f(x) = x^2 \) su \([1, 3]\).

1. Pendenza della secante: \[ \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4. \]
2. Derivata: \( f'(x) = 2x \).
3. Punto \( c \): \[ f'(c) = 4 \Rightarrow 2c = 4 \Rightarrow c = 2 \in (1, 3). \]

Verifica grafica:

• La tangente in \( x = 2 \) ha equazione \( y = 4x - 4 \).
• La secante ha equazione \( y = 4x - 3 \).
• Sono parallele (stessa pendenza).

1. Significato geometrico:
   • Il teorema garantisce che, in condizioni "regolari", esiste almeno un punto in cui la tangente è parallela alla corda tra gli estremi.
2. Controesempi:
   • Se \( f \) non è derivabile (es. \( f(x) = |x| \) su \([-1, 1]\)), il teorema fallisce.
   • Se \( f \) non è continua agli estremi, non è applicabile.
3. Generalizzazioni:
   • È alla base di molti risultati fondamentali, come la Regola di L'Hôpital e lo studio della monotonia delle funzioni.

• Se \( g(x) = x \), il Teorema di Cauchy si riduce al Teorema di Lagrange: \[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c). \]

1. Curve parametriche:
   • Considera le funzioni \( f \) e \( g \) come coordinate parametriche di una curva \( \gamma(t) = (g(t), f(t)) \).
   • Il rapporto \( \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \) è la pendenza della corda che collega \( \gamma(a) \) e \( \gamma(b) \).
   • Il teorema afferma che esiste un punto \( \gamma(c) \) in cui la tangente alla curva è parallela alla corda.

Siano \( f(x) = x^2 \) e \( g(x) = x^3 \) su \([1, 2]\).

1. Calcolo dei rapporti: \[ \frac{f(2) - f(1)}{g(2) - g(1)} = \frac{4 - 1}{8 - 1} = \frac{3}{7}, \] \[ \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{2x}{3x^2} = \frac{2}{3x}. \]
2. Punto \( c \): \[ \frac{2}{3c} = \frac{3}{7} \Rightarrow c = \frac{14}{9} \in (1, 2). \]

• Importanza:
  • È fondamentale per dimostrare la Regola di de l'Hôpital.
  • Generalizza il Teorema di Lagrange a funzioni vettoriali.
• Controesempi:
  • Se \( g'(x) = 0 \) in qualche punto, il teorema non vale (es. \( g(x) = \text{costante} \)).