Analisi 1 - Studio di funzione in \(R\)

1. Dominio
   • Trova dove \( f(x) \) è definita (es. evita divisioni per zero, radici di numeri negativi).
2. Simmetrie
   • Pari: \( f(-x) = f(x) \) (simmetria rispetto all’asse \( y \)).
   • Dispari: \( f(-x) = -f(x) \) (simmetria rispetto all’origine).
3. Intersezioni con gli Assi
   • Asse \( x \): Risolvi \( f(x) = 0 \).
   • Asse \( y \): Calcola \( f(0) \).
4. Segno della Funzione
   • Determina gli intervalli dove \( f(x) > 0 \) o \( f(x) < 0 \).
5. Limiti e Asintoti
   • Asintoti orizzontali: \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) \).
   • Asintoti verticali: \( \lim_{x \to c} f(x) = \pm\infty \) (es. punti di discontinuità).
   • Asintoti obliqui: \( y = mx + q \), con \( m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \).
6. Derivata Prima (\( f'(x) \))
   • Trova i punti critici: \( f'(x) = 0 \).
   • Determina gli intervalli di crescenza/decrescenza.
7. Derivata Seconda (\( f''(x) \))
   • Studia la concavità/convessità e i punti di flesso (\( f''(x) = 0 \)).
8. Grafico
   • Combina tutte le informazioni per tracciare il grafico qualitativo.

• Denominatore \( x \neq 0 \).
• Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

• \( f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{-x} = -\frac{x^2 - 1}{x} = -f(x) \).
• Funzione dispari (simmetria centrale).

• Asse \( x \): \( \frac{x^2 - 1}{x} = 0 \implies x = \pm 1 \). Punti: \( (-1, 0) \) e \( (1, 0) \).
• Asse \( y \): \( x = 0 \) non è nel dominio → nessuna intersezione.

• Numeratore: \( x^2 - 1 > 0 \) per \( x < -1 \) o \( x > 1 \).
• Denominatore: \( x > 0 \) se \( x > 0 \).
• Risultato:
  • \( f(x) > 0 \) per \( x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1) \).
  • \( f(x) < 0 \) per \( x \in (-1, 0) \cup (1, +\infty) \).

• Asintoti verticali:
  • \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \), \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty \).
  • Asintoto: \( x = 0 \) (asse \( y \)).
• Asintoti obliqui:
  • \( m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{x^2} = 1 \).
  • \( q = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 - 1}{x} - x \right) = 0 \).
  • Asintoto obliquo: \( y = x \).

• \( f'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2 - 1)}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2} \).
• Punti critici: \( f'(x) = 0 \implies x^2 + 1 = 0 \) → Nessuna soluzione reale.
• Monotonia:
  • \( f'(x) > 0 \) per ogni \( x \neq 0 \) → sempre crescente nel dominio.

• \( f''(x) = \frac{2x^3 - 2x(x^2 + 1)}{x^4} = -\frac{2}{x^3} \).
• Concavità:
  • \( x > 0 \): \( f''(x) < 0 \) → concava verso il basso.
  • \( x < 0 \): \( f''(x) > 0 \) → concava verso l’alto.
• Flessi: Nessuno (la derivata seconda non si annulla).

• Asintoti: \( x = 0 \) (verticale), \( y = x \) (obliquo).
• Passaggi obbligati: Punti \( (-1, 0) \) e \( (1, 0) \).
• Andamento:
  • Crescente ovunque, con concavità che cambia in \( x = 0 \).

Studiamo la funzione: \[ f(x) = \sin(x) + \cos(x) \quad \text{su} \quad [0, 2\pi] \]

• \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\) sono definite ovunque → Dominio: \(\mathbb{R}\).
• Qui restringiamo a \([0, 2\pi]\) per periodicità.

• Né pari né dispari: \(f(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin(x) + \cos(x) \neq \pm f(x)\).

• Asse \(x\) (zeri): \[ \sin(x) + \cos(x) = 0 \implies \tan(x) = -1 \implies x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}. \] Punti: \(\left(\frac{3\pi}{4}, 0\right)\), \(\left(\frac{7\pi}{4}, 0\right)\).
• Asse \(y\): \(f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 1\) → Punto \((0, 1)\).

• Risolvi \(\sin(x) + \cos(x) > 0\): Usando l'identità \(\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\): \[ \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > 0 \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > 0. \] Soluzioni in \([0, 2\pi]\): \[ 0 \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \pi \implies x \in \left[0, \frac{3\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right]. \]

• Non ci sono asintoti (la funzione è periodica e limitata).
• Valori agli estremi: \(f(0) = 1\), \(f(2\pi) = 1\).

\[ f'(x) = \cos(x) - \sin(x). \]

• Punti critici: \[ \cos(x) = \sin(x) \implies \tan(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}. \]
• Monotonia:
  • \(f'(x) > 0\) se \(\cos(x) > \sin(x)\) (usa il cerchio trigonometrico): \(x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{4}, 2\pi\right]\).
  • Massimo in \(x = \frac{\pi}{4}\): \(f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\).
  • Minimo in \(x = \frac{5\pi}{4}\): \(f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\).

\[f''(x) = -\sin(x) - \cos(x) = -f(x).\]

• Punti di flesso: \(f''(x) = 0 \implies \sin(x) + \cos(x) = 0 \implies x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\).
• Concavità:
  • \(f''(x) > 0\) dove \(f(x) < 0\): \(x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right)\) (concava verso l'alto).
  • Negli altri intervalli, concava verso il basso.

• Massimi/minimi:
  • \((\frac{\pi}{4}, \sqrt{2})\) (massimo), \((\frac{5\pi}{4}, -\sqrt{2})\) (minimo).
• Flessi:
  • \((\frac{3\pi}{4}, 0)\) e \((\frac{7\pi}{4}, 0)\).
• Andamento:
  • Cresce in \(\left[0, \frac{\pi}{4}\right)\) e \(\left(\frac{5\pi}{4}, 2\pi\right]\).
  • Decresce altrove.

Studiamo la funzione: \[f(x) = \ln(\sin(x^2)) \quad \text{su un intervallo significativo}\]

• Condizioni:
  • \(\sin(x^2) > 0\) (argomento del logaritmo).
  • \(\sin(x^2) = 0\) quando \(x^2 = k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)).

• Soluzione: \[ x^2 \in (2k\pi, (2k+1)\pi) \implies x \in \left(-\sqrt{(2k+1)\pi}, -\sqrt{2k\pi}\right) \cup \left(\sqrt{2k\pi}, \sqrt{(2k+1)\pi}\right). \]

  Esempio per \(k=0\):

  • \(x^2 \in (0, \pi) \implies x \in (-\sqrt{\pi}, 0) \cup (0, \sqrt{\pi})\).
• Dominio principale: \( (0, \sqrt{\pi}) \) (lavoriamo su \(x > 0\) per simmetria).

• Funzione pari: \[ f(-x) = \ln(\sin((-x)^2)) = \ln(\sin(x^2)) = f(x). \]

  Il grafico è simmetrico rispetto all'asse \(y\).

• Asse \(x\): \[ \ln(\sin(x^2)) = 0 \implies \sin(x^2) = 1 \implies x^2 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi. \] Soluzione in \((0, \sqrt{\pi})\): \[ x = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \quad \left(\approx 1.253\right). \] Punto: \(\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}, 0\right)\).
• Asse \(y\): \(x=0\) non è nel dominio (limite \(-\infty\)).

• \(\ln(\sin(x^2)) > 0\) se \(\sin(x^2) > 1\) → Impossibile.
• \(\ln(\sin(x^2)) < 0\) se \(\sin(x^2) \in (0,1)\) → Sempre vero nel dominio.

• Per \(x \to 0^+\): \[ x^2 \to 0^+ \implies \sin(x^2) \approx x^2 \implies f(x) \approx \ln(x^2) \to -\infty. \]
• Per \(x \to \sqrt{\pi}^-\): \[ x^2 \to \pi^- \implies \sin(x^2) \to 0^+ \implies f(x) \to -\infty. \]
• Asintoti verticali: \(x = 0\) e \(x = \sqrt{\pi}\).

\[f'(x) = \frac{2x \cos(x^2)}{\sin(x^2)} = 2x \cot(x^2).\]

• Punti critici:
  • \(f'(x) = 0 \implies \cos(x^2) = 0 \implies x^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi\).
  • In \((0, \sqrt{\pi})\): \(x = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1.253\).
• Monotonia:
  • \(f'(x) > 0\) se \(\cos(x^2) > 0\) → \(x^2 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \implies x \in \left(0, \sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)\).
  • \(f'(x) < 0\) se \(\cos(x^2) < 0\) → \(x \in \left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}, \sqrt{\pi}\right)\).

Massimo in \(x = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\): \[f\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) = \ln(1) = 0.\]

\[f''(x) = 2 \cot(x^2) + 2x \left(-\frac{2x}{\sin^2(x^2)}\right) = 2\cot(x^2) - \frac{4x^2}{\sin^2(x^2)}.\]

• Concavità:
  • \(f''(x) < 0\) per ogni \(x \in (0, \sqrt{\pi})\) → Sempre concava verso il basso.
• Flessi: Nessuno.

• Andamento:
  • Cresce fino a \(x = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\), poi decresce.
  • Asintoti verticali a \(x = 0\) e \(x = \sqrt{\pi}\).

• \(f(x) = \ln(\cos(x^2))\) (dominio più complicato!).
• \(f(x) = \ln(\sin(x) + \cos(x))\).