Analisi 2 - Definizioni in \(R^n\)
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1. Maggiorante
Un maggiorante di un insieme \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) è un vettore \(\mathbf{M} \in \mathbb{R}^n\) tale che:
\[\forall \mathbf{x} \in A, \quad \mathbf{x} \leq \mathbf{M} \quad \text{(disuguaglianza componente per componente)}.\]
- Esempio: Per \(A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1\}\), \(\mathbf{M} = (1,1)\) è un maggiorante.
2. Minorante
Un minorante di \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) è un vettore \(\mathbf{m} \in \mathbb{R}^n\) tale che:
\[\forall \mathbf{x} \in A, \quad \mathbf{x} \geq \mathbf{m}.\]
- Esempio: Per \(A = \{(x,y) \mid x, y \geq 0\}\), \(\mathbf{m} = (0,0)\) è un minorante.
3. Massimo
Un vettore \(\mathbf{M} \in A\) è il massimo di \(A\) se:
\[\forall \mathbf{x} \in A, \quad \mathbf{x} \leq \mathbf{M}.\]
- Osservazione: Non tutti gli insiemi hanno massimo (es. \(A = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 \mid \|\mathbf{x}\| < 1\}\)).
4. Minimo
Un vettore \(\mathbf{m} \in A\) è il minimo di \(A\) se: \[\forall \mathbf{x} \in A, \quad \mathbf{x} \geq \mathbf{m}.\]
5. Punto Stazionario
Per una funzione \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), un punto \(\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n\) è stazionario se:
\[\nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0} \quad \text{(gradiente nullo)}.\]
- Esempio: Per \(f(x,y) = x^2 + y^2\), \((0,0)\) è stazionario.
6. Punto di Accumulazione
Un punto \(\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n\) è di accumulazione per \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) se:
\[\forall \epsilon > 0, \quad B(\mathbf{x}_0, \epsilon) \cap A \setminus \{\mathbf{x}_0\} \neq \emptyset,\]
dove \(B(\mathbf{x}_0, \epsilon)\) è la palla aperta di raggio \(\epsilon\).
- Esempio: Per \(A = \{\frac{1}{k} \mid k \in \mathbb{N}\} \times \{0\} \subset \mathbb{R}^2\), \((0,0)\) è di accumulazione.
7. Punto di Bordo (Frontiera)
Un punto \(\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n\) è di bordo per \(A\) se:
\[\forall \epsilon > 0, \quad B(\mathbf{x}_0, \epsilon) \cap A \neq \emptyset \quad \text{e} \quad B(\mathbf{x}_0, \epsilon) \cap A^c \neq \emptyset.\]
- Esempio: Per \(A = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 \mid \|\mathbf{x}\| \leq 1\}\), i punti con \(\|\mathbf{x}\| = 1\) sono di bordo.
8. Rappresentazione Grafica
- In \(\mathbb{R}^2\): Usa cerchi per insiemi aperti, linee per frontiere.
- In \(\mathbb{R}^3\): Superfici e volumi (es. sfere, cubi).
- Esempio:
- Insieme \(A = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 < 1\}\): Disco aperto senza bordo.
- Frontiera: Circonferenza \(x^2 + y^2 = 1\).
9. Interno di un Insieme
L'interno di \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) è l'insieme: \[\text{Int}(A) = \{\mathbf{x} \in A \mid \exists \epsilon > 0 \text{ tale che } B(\mathbf{x}, \epsilon) \subseteq A\}.\]
- Esempio: Per \(A = \{\mathbf{x} \mid \|\mathbf{x}\| \leq 1\}\), \(\text{Int}(A) = \{\mathbf{x} \mid \|\mathbf{x}\| < 1\}\).
10. Esterno di un Insieme
L'esterno di \(A\) è l'interno del complementare \(A^c\): \[\text{Ext}(A) = \text{Int}(A^c).\]
11. Chiusura di un Insieme
La chiusura \(\overline{A}\) è l'unione di \(A\) con la sua frontiera:
\[\overline{A} = A \cup \{\text{punti di bordo}\}.\]
- Esempio: Se \(A = \{\mathbf{x} \mid \|\mathbf{x}\| < 1\}\), \(\overline{A} = \{\mathbf{x} \mid \|\mathbf{x}\| \leq 1\}\).
12. Linee di Livello
Le linee di livello di una funzione \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) sono le curve definite da:
\[f(x, y) = k \quad \text{(con \( k \) costante)}.\]
- Interpretazione: Descrivono insiemi di punti \((x, y)\) dove \( f \) assume lo stesso valore \( k \).
- Esempio: Per \( f(x, y) = x^2 + y^2 \), le linee di livello sono cerchi concentrici \( x^2 + y^2 = k \).
12.0.1. Applicazioni:
- Mappe topografiche (curve di quota costante).
- Ottimizzazione: aiutano a visualizzare il comportamento di \( f \).
13. Operatore \(\nabla\)
13.1. Cosa rappresenta \( \nabla \) (Operatore Nabla)?
Il simbolo \( \nabla \) (letto "nabla") è un operatore differenziale vettoriale utilizzato in calcolo multivariabile per descrivere tre operazioni fondamentali:
- Gradiente (per funzioni scalari).
- Divergenza (per campi vettoriali).
- Rotore (per campi vettoriali in \( \mathbb{R}^3 \)).
13.2. Gradiente (\( \nabla f \))
Se \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) è una funzione scalare, il gradiente è il vettore delle derivate parziali:
\[\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right).\]
Significato:
- Indica la direzione di massima crescita di \( f \).
- La sua norma \( \|\nabla f\| \) misura il tasso di variazione massimo.
Esempio in \( \mathbb{R}^2 \):
Per \( f(x,y) = x^2 + y^2 \):
\[\nabla f = (2x, 2y).\]
- In \( (1,1) \), \( \nabla f = (2,2) \): la funzione cresce più rapidamente lungo la direzione \( (1,1) \).
13.3. Divergenza (\( \nabla \cdot \mathbf{F} \))
Se \( \mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) è un campo vettoriale \( \mathbf{F} = (F_1, F_2, \dots, F_n) \), la divergenza è:
\[\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \frac{\partial F_2}{\partial x_2} + \dots + \frac{\partial F_n}{\partial x_n}.\]
Significato:
- Misura la tendenza di un campo a divergere (se \( > 0 \)) o convergere (se \( < 0 \)) in un punto.
- Se \( \nabla \cdot \mathbf{F} = 0 \), il campo è solenoidale (es. fluidi incomprimibili).
Esempio in \( \mathbb{R}^3 \): Per \( \mathbf{F}(x,y,z) = (x^2, y, z) \):
\[\nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 1 + 1 = 2x + 2.\]
- In \( (1,0,0) \), \( \nabla \cdot \mathbf{F} = 4 \): il campo "si espande" in quel punto.
13.4. Rotore (\( \nabla \times \mathbf{F} \))
Solo in \( \mathbb{R}^3 \), per un campo \( \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) \), il rotore è:
\[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}. \]
Significato:
- Misura la tendenza a ruotare (es. vortici in fluidi).
- Se \( \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} \), il campo è irrotazionale (conservativo).
Esempio: Per \( \mathbf{F}(x,y,z) = (-y, x, 0) \):
\[\nabla \times \mathbf{F} = (0, 0, 2).\]
- Indica una rotazione antioraria attorno all'asse \( z \).
13.5. Interpretazione Fisica
- Campo elettrico \( \mathbf{E} \):
- \( \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0 \) (Legge di Gauss).
- \( \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \) (Legge di Faraday).
- Fluidodinamica:
- \( \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \) → fluido incomprimibile.
- \( \nabla \times \mathbf{v} \) → vorticità.
13.6. Rapresentazione Grafica
∇f (gradiente) ↑ | Funzione scalare f(x,y) | Livelli crescenti •───> ∇ × F (rotore) | ↓ ∇ ⋅ F > 0 (divergenza positiva)
13.7. Riassunto delle Operazioni
| Operatore | Input | Output | Esempio |
|---|---|---|---|
| \( \nabla f \) | Funzione scalare | Vettore | Direzione di salita |
| \( \nabla \cdot \mathbf{F} \) | Campo vettoriale | Scalare | Divergenza |
| \( \nabla \times \mathbf{F} \) | Campo \( \mathbb{R}^3 \) | Vettore | Rotazione |
14. Matrice Hessiana
La matrice hessiana (o Hessiano) è uno strumento fondamentale nell'analisi multivariata per studiare la curvatura di una funzione in più variabili. Serve, ad esempio, per determinare se un punto critico è un minimo, massimo o sella.
14.1. Definizione:
Sia \(f(x_1, x_2, \dots, x_n)\) una funzione due volte derivabile. La matrice hessiana di \(f\) è la matrice quadrata delle derivate parziali seconde:
$$ Hf(x) =
\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \dots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$$
Nel caso di una funzione in due variabili \(f(x, y)\), la Hessiana è:
$$ Hf(x, y) =
\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{bmatrix}$$
14.2. A cosa serve?
Nei punti critici (dove \(\nabla f = 0\)), la Hessiana ci dice il tipo di punto:
sia
\[ D = \det(H_f(x, y)) = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 \]
allora
- Se \(D > 0\) e \(f_{xx} > 0\): minimo locale
- Se \(D > 0\) e \(f_{xx} < 0\): massimo locale
- Se \(D < 0\): punto di sella
- Se \(D = 0\): test inconcludente