Analisi 2 - Integrali in \(R^2\) con docmini normali

sia \(\iint_A f(\vec{x})d\vec{A}\) l'integrale della funzione \(f:A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) definita sul dominio \(A\)

allora mediante opportune trasformazioni sulle funzioni descrittive del dominio \(A\) l'integrale puo' essere riscritto come

\(\iint_A f(\vec{x})d\vec{A}\) \(\rightarrow\) \(\iint_B f(\vec{y}) J(\vec{y}) d\vec{y}\)

in cui \(J(\vec{y})\) e' lo jacobiano della matrice di trasformazione che rappresenta il prezzo pagare.

Un dominio normale è una regione del piano \(xy\) che può essere descritta come segue ma in entrambi i casi puoi integrare prima sulla variabile interna e poi su quella esterna. Il costo dello jacobiano e' \(dxdy \rightarrow 1dxdv\).

Calcola:

\[ \iint_R (x^2 + y)\, dA, \quad \text{dove } R = [0, 1] \times [0, 2] \]

È un dominio rettangolare, quindi puoi usare entrambi gli ordini:

\[ \int_0^1 \left( \int_0^2 (x^2 + y)\, dy \right) dx \]

Calcolo:

• \(\int_0^2 (x^2 + y)\, dy = x^2 \cdot 2 + \frac{2^2}{2} = 2x^2 + 2\)
• \(\int_0^1 (2x^2 + 2)\, dx = \frac{2}{3} + 2 = \boxed{\frac{8}{3}}\)

Calcola:

\[ \iint_R (x + y)\, dA \]

dove \(R\) è il triangolo con vertici \((0,0), (1,0), (1,1)\)

Descrizione:

\[ R = \left\{ (x, y) \mid 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le x \right\} \]

\[ \int_0^1 \left( \int_0^x (x + y)\, dy \right) dx \]

• Interna: \(\int_0^x (x + y)\, dy = x^2 + \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{2}\)
• Esterna: \(\int_0^1 \frac{3x^2}{2}\, dx = \boxed{\frac{1}{2}}\)

Stesso triangolo di prima ma espresso così:

\[ R = \left\{ (x, y) \mid 0 \le y \le 1,\ y \le x \le 1 \right\} \]

\[ \int_0^1 \left( \int_y^1 (x + y)\, dx \right) dy \]

• Interna: \(\int_y^1 (x + y)\, dx = \frac{1}{2} + y - \frac{3y^2}{2}\)
• Esterna: \(\int_0^1 \left( \frac{1}{2} + y - \frac{3y^2}{2} \right)\, dy = \boxed{\frac{1}{2}}\)

Sia \(R\) la regione compresa tra \(y = x^2\) e \(y = x\), con \(x \in [0, 1]\). Calcola:

\[ \iint_R y\, dA \]

Dominio normale rispetto a \(x\):

\[ R = \left\{ (x, y) \mid 0 \le x \le 1,\ x^2 \le y \le x \right\} \]

\[ \int_0^1 \left( \int_{x^2}^x y\, dy \right) dx \]

• Interna: \(\int_{x^2}^x y\, dy = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2}\)
• Esterna: \(\int_0^1 \left( \frac{x^2 - x^4}{2} \right)\, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \boxed{\frac{1}{15}}\)

Considera la regione delimitata da:

• \(y = x\)
• \(y = 2 - x\)
• \(y = 0\)

Questa forma un triangolo isoscele con vertice in \((1,1)\).

Dividiamola in due regioni, normali rispetto a \(x\):

1. Per \(x \in [0,1]\): \(y \in [0, x]\)
2. Per \(x \in [1,2]\): \(y \in [0, 2 - x]\)

Calcola:

\[ \iint_R y\, dA = \int_0^1 \left( \int_0^x y\, dy \right) dx + \int_1^2 \left( \int_0^{2 - x} y\, dy \right) dx \]

• Primo pezzo: \(\int_0^1 \frac{x^2}{2}\, dx = \frac{1}{6}\)
• Secondo pezzo: \(\int_1^2 \frac{(2 - x)^2}{2}\, dx = \frac{1}{6}\)

Risultato totale: \(\boxed{\frac{1}{3}}\)

Quando hai un dominio:

1. Disegnalo sul piano.
2. Capisci quale variabile è meglio fissare (cioè quale asse ha confini più semplici).
3. Scrivi le estremi di integrazione chiaramente.
4. Valuta se conviene cambiare l’ordine o dividere in pezzi.