Analisi 2 - Formule di riduzione in \(R^3\)

Un parallelepipedo definito da:

\[ 0 \leq x \leq 2,\quad 1 \leq y \leq 3,\quad -1 \leq z \leq 4 \]

È un dominio normale:

• rispetto a \(x\): perché \(x \in [0,2]\), con limiti costanti;
• rispetto a \(y\): idem;
• rispetto a \(z\): idem.

Quindi questo è un dominio normale rispetto a tutte le coordinate, e in particolare è normale rispetto a un parallelepipedo, nel senso che coincide con un parallelepipedo.

Sapere che un dominio è normale rispetto a una variabile ti permette di scrivere facilmente integrali tripli:

Ad esempio:

\[ \iiint_D f(x, y, z)\, dz\,dy\,dx \]

si può calcolare direttamente con limiti costanti, se \(D\) è un parallelepipedo.

• Un dominio normale rispetto a un parallelepipedo è un dominio rettangolare in \(\mathbb{R}^3\) con limiti costanti in tutte le direzioni.
• Può essere integrato facilmente con integrali tripli.
• È normale rispetto a \(x\), \(y\) e \(z\), perché i limiti non dipendono dalle altre variabili.

Un dominio \(D \subset \mathbb{R}^3\) è detto normale rispetto al piano \(xy\) se:

\[ D = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \;\middle|\; (x, y) \in R,\; \phi_1(x, y) \leq z \leq \phi_2(x, y) \right\} \]

In parole semplici:

• Fissi \(x\) e \(y\) → \(z\) varia tra due superfici.
• Il dominio è compreso tra due superfici \(z = \phi_1(x, y)\) e \(z = \phi_2(x, y)\), e “si appoggia” sul piano \(xy\).

• Il dominio tridimensionale \(D\) è visto come una colonna verticale sopra il piano \(xy\).
• Il piano di base è la proiezione \(R\) sul piano \(xy\), e ogni punto \((x, y)\) in \(R\) è associato a un intervallo in \(z\).

Supponiamo:

\[ D = \left\{ (x, y, z) \;\middle|\; 0 \leq x \leq 1,\; 0 \leq y \leq 2,\; x + y \leq z \leq 5 \right\} \]

Analisi:

• Proiezione su \(xy\): rettangolo \([0,1] \times [0,2]\)
• \(z\) varia da \(z = x + y\) fino a \(z = 5\)
• Quindi dominio normale rispetto al piano \(xy\)

L'integrale triplo su questo tipo di dominio si imposta con:

\[ \iiint_D f(x, y, z)\, dz\,dy\,dx \]

dove:

• \((x, y) \in R\)
• \(z \in [\phi_1(x, y),\; \phi_2(x, y)]\)

Usare un dominio normale rispetto al piano \(xy\) è utile quando:

• Le superfici superiore e inferiore sono più semplici da descrivere in funzione di \(x\) e \(y\).
• Si vuole integrare facilmente lungo \(z\) (es: in presenza di cupole, solidi di rotazione verticali, ecc.)

Un dominio \(D \subset \mathbb{R}^3\) è detto normale rispetto all’asse \(z\) se può essere descritto come:

\[ D = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \;\middle|\; (x, y) \in R,\; \phi_1(x, y) \leq z \leq \phi_2(x, y) \right\} \]

Dove:

• \(R \subset \mathbb{R}^2\) è la proiezione del dominio \(D\) sul piano \(xy\),
• \(\phi_1(x, y)\) e \(\phi_2(x, y)\) sono due funzioni continue che rappresentano il "soffitto" e il "pavimento" del dominio in direzione \(z\).

Significa che se fissi un punto \((x, y)\) nel piano, i punti corrispondenti nel dominio \(D\) sono tutti quelli tra due superfici \(z = \phi_1(x, y)\) e \(z = \phi_2(x, y)\).

In altre parole, il dominio è compreso tra due superfici lungo l’asse \(z\), e varia al variare di \(x\) e \(y\).

Supponiamo di avere il dominio:

\[ D = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \;\middle|\; 0 \leq x \leq 1,\; 0 \leq y \leq 1,\; x + y \leq z \leq 2 - x - y \right\} \]

Proiezione su \(xy\):

\[ R = \{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,\; 0 \leq y \leq 1 \} \]

Per ogni punto \((x, y) \in R\), \(z\) varia tra \(z = x + y\) e \(z = 2 - x - y\).

Quindi \(D\) è normale rispetto all’asse \(z\), perché ha:

• proiezione regolare su \(xy\),
• limiti di integrazione in \(z\) che dipendono solo da \(x\) e \(y\).

La forma dell’integrale sarà:

\[ \iiint_D f(x, y, z)\, dz\,dy\,dx \]

con:

• \(z \in [\phi_1(x, y),\; \phi_2(x, y)]\),
• \((x, y) \in R\).

Classificare un dominio come normale rispetto a un asse:

• semplifica l’integrazione: puoi scegliere l’ordine più conveniente dei differenziali.
• È fondamentale in coordinate cartesiane, cilindriche, o sferiche.

In modo analogo si definiscono: