Sequenze

Nella \eqref{eq:10011} trasformando separatamente i vari membri otteniamo la \eqref{eq:1000} in cui la parte in bianco e' ottenuta applicando la definizione di TDF mentre quella rossa e' ottenuta applicando la proprietà della TDF di un prodotto.

\begin{equation} \label{eq:1000} \begin{split} X_c(f) = \color{white}\int_{-\infty}^{\infty}x_c(t)e^{-j2\pi f t} d_t= \color{white}\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j2\pi f t}=\\ \color{white}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j2\pi f t}= \color{white}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t - nT_c)e^{-j2\pi f t} d_t=\\ \color{white}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t - nT_c)e^{-j2\pi f t} d_t= \color{white}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi f nT_c} d_t=\\ \color{white}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-j2\pi f nT_c} =\\ \color{white}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-j2\pi n\frac{f}{f_c}} =\\ \color{red} X(f) \otimes f_c\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta (f-nf_c)=f_c\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f - nf_c) \end{split} \end{equation}

per cui dalla \eqref{eq:1000} si ha la \eqref{eq:0a}

\begin{equation} \label{eq:0a} \begin{split} X(f)=F[x(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - nT_c)] = \color{red} f_c\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f - nf_c) \end{split} \end{equation}

E’ interessante osservare che dal punto di vista matematico Serie di Fourier e TDF sono un notevole caso di dualita' in quanto equivalenti perche' entrambe rappresentano funzioni periodiche ( vds fig 1 ).

Dal punto di vista applicativo invece SDF e TDF sono profondamente diverse perche' la trasformata della prima sono due valori distinti in quanto il segnale e' privo di informazione, cioe' visto un periodo visti tutti, mentre una sequenza discreta di campioni rappresenta delle informazioni che di solito non si ripetono.

Da notare che tutte le trasformate di sequenze sono funzioni
periodiche che a differenza di quelle a tempo continuo sono
aperioriche.

E' una convergenza molto forte infatti e questo limita lo studio della TDF alle sole funzioni continue in quanto la \(\sum | x[n]|\) deve essere assolutamente sommabile. Questo tipo di convergenza e' definita come :

\begin{equation} \label{eq:1001 } \begin{split} X(\omega) \leq |X(\omega)|= |\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{j\omega n}| \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]| |e^{j\omega n}| \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]| \leq \infty \end{split} \end{equation}

che significa per ogni \(\omega \in [-\pi,\pi]\) ( intervallo senza buchi ) \(X(\omega)\) è continua e l'errore si annulla infatti :

\(\forall \ \epsilon > 0 \ \exists \ M_{\epsilon}\) t.c. \(\forall \ M>M_{\epsilon} \ \Rightarrow\) \(|X(\omega) - X_M(\omega)| < \epsilon\)

Pemette di includere funzioni di TDF con discontinuita' come la \(rect\), cioè segnali ad energia finita ( \(\sum |x[n]|^2 < \infty\) ) . Se io uso la troncata della TDF quello che ottengo in prossimita' della discontinuita' sono delle sovraelongazioni ed aumentando i campioni ottengo una diminuzione del tempo di transizione ma un aumento del valore di picco ( fenomeno di Gibs ) vds fig 2 .

In questo caso si valuta l'errore medio ( uso dell integrale ) nell'intervallo di esistenza della TDF come segue in cui il valore dell'integrale non cambia se in qualche punto la differenza dell'argomento non è nulla ( \(X(\omega)\) discontinua ) e questo spiega perché questo tipo di convergenza è meno stringente :

\(X(\omega) \leq |X(\omega)|^2=|\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{j\omega n}|^2 \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 \leq \infty\)

\(\lim_{M \rightarrow \infty} \int_{-\pi}^{\pi}|X(\omega) - X_M(\omega)|^2 d_{\omega}=0\)

Le due convergenza precedenti non sono sufficienti a garantire la convergenza della TDF di alcune sequenze tipo quella costante di valore unitario \(x[n]=1\). In questo caso come per la SDF e la TDF si introduce la \(\delta[F]\).

Da notare che a differenza della \(\delta\) definita per un tempo continuo dove occorre utilizzare le distribuzioni, in ambiente discreto basata solo la seguente definizione :

\begin{equation} \delta(n) = \bigg \{ \begin{array}{l} 1 \ con\ n=0\\ 0 \ per\ tutti\ gli\ altri \\ \end{array} \end{equation}

Definizione

\begin{equation} x[n]=sgn[n] =\left\{\begin{matrix}1 & n > 0 \\ 0 & n = 0 \\ -1 & n < 0 \end{matrix}\right. \end{equation}

Definizione della funzione :

\begin{equation} \label{eq:1002} u[n]= \bigg \{ \begin{array}{ccc} 1 & n >= 0 \\ 0 & n < 0 \end{array} \end{equation}

Definizione della funzione esponenziale con base reale o complessa :

1. Funzione esponenziale bilatera \(x[n]=a^n\);
2. Funzione esponenziale unilatera \(x[n]=a^nu[n]\)

Altro modo di scrivere un segnale rettangolare

\(x[n]=a^n[u[n] -u[n-N]]\)

in cui

\(x[n]=Acos(\omega_0 n + \phi)=\frac{A}{2}e^{j\omega_0 n + \phi} + \frac{A}{2}e^{-j\omega_0 n + \phi}\)

con \(x[n]=x[n+N]\) con \(\omega_0 N=2k\pi, k \in Z\)

\begin{equation} \label{eq:012} a_1x_1[n] + a_2x_2[n] \ \leftrightarrow a_1X_1[f] + a_2X_2[f] \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:13} x[n- n_0] \leftrightarrow e^{j\omega n_0}X(\omega) \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:14} x[n]e^{j\omega_0 n} \leftrightarrow X(\omega - \omega_0) \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:0101 } \begin{split} x[-n] \ \rightarrow X[-F] \\ x[-n] \ \rightarrow X^*[-F] \ con\ x[n] \ reale \end{split} \end{equation}

Sia \(x[n]\) allora

\begin{equation} \label{eq:115} \mathfrak{F} { x^c[n] }=X^c(-F) \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:16} nx[n] \leftrightarrow j \frac{dX(\omega)}{d\omega} \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:17} x[n]\otimes y[n] \leftrightarrow X(\omega)Y(\omega) \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:18} x[n]y[n] \leftrightarrow \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(\theta)Y(\omega - \theta)d_{\theta} \end{equation}

L'energia della sequenza nel dominio originale si conserva anche nel dominio trasformato.

\begin{equation} \label{eq:19} \begin{split} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n] y^c[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)Y^c({\omega}) d_{\omega} \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x^c[n]= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(\omega)|^2d_{\omega} \end{split} \end{equation}

che puo' essere interpretata come la ripetizione di periodo \(2\pi\) della densita' spettrale di energia \(|X(\omega)|^2\).