Processi Stocastici o Aleatori

La differenza principale tra un processo aleatorio e un processo stocastico è la conoscenza della distribuzione di probabilità.

Processo aleatorio : Un processo aleatorio è una collezione di variabili aleatorie indicizzate da un parametro, come il tempo o lo spazio. In un processo aleatorio, non si conosce la distribuzione di probabilità di tutte le variabili aleatorie. Si conoscono solo alcune proprietà statistiche del processo, come la media e la varianza. In pratica un processo aleatorio è una successione di v.a. ordinate da una variabile temporale. Nel caso tempo-discreto, le v.a. sono ordinate dall’indice dei campioni Per convenienza, i campioni di un processo sono spesso raccolti in un vettore di v.a., indicati, per esempio, con \(x = [x[0] x[1] . . . x[N − 1]]^T\) oppure con \(x = [x0 x1 . . . xN−1 ]^T\) dove l’indice degli elementi del vettore fornisce una precisa indicazione sulla posizione temporale del campione Per semplificare la notazione, la pdf del campione x[n], usualmente riferita con \(px[n] (X )\), può anche essere indicata con \(p(x[n])\), cioè si usa la stessa notazione per la v.a. (che si omette come pedice) e l’argomento della funzione

Processo stocastico : Un processo stocastico è un processo aleatorio per il quale è nota la distribuzione di probabilità di tutte le variabili aleatorie. In altre parole, si conosce la probabilità di ogni possibile valore di ogni variabile aleatoria. Questo permette di fare previsioni più precise sul comportamento del processo nel tempo.

• p.a. del 1 ordine \(F_{x}(t,s)=P(\{x(t,s)\leq x\}) \Rightarrow f_{x}(t,s)=\frac{\delta F_{x}(t,s)}{\delta x}\)
• p.a. del 2 ordine

Numero di segnali aleatori che formano un processo stocastico ed è statisticamente determinato quando è nota la funzione di probabilità congiunta.

Esempio

Dati due p.a. di dimensione \(n\) e \(m\), cioè :

• sia \(x(t)\) un segnale aleatorio di ordine n \(\rightarrow\) processo formato da \(n\) v.a. \(x(t_{1}),...,x(t_{n})\)
• sia \(y(t)\) un segnale aleatorio di ordine m \(\rightarrow\) processo formato da \(m\) v.a. \(y(t_{1}),...,y(t_{m})\)

allora la FDP di un processo aleatorio di dimensione due è :

Vds definizione dei momenti.

• \(R_{xx}[m]=C_{xx}[m]\)
• \(R_{xx}[m]=R_{xx}[-m]\) simmetria;
• \(R_{xx}[0]=E\{x^2[n]\} \geq 0\) e’ costante e coincide con la potenza di un segnale;
• |\(R_{xx}[m]| \leq R_{xx}[0]\) i processi a media nulla hanno una funzione di autoccorelazione a media nulla;

ergodico nella funzione di autocorrelazione;

Un processo ergodico è un processo stocastico che soddisfa una specifica proprietà statistica: la media temporale converge alla media di insieme al crescere del tempo.

• \(\lim_{M \rightarrow \infty} < x_n X_{n+m} >_M = M_x\) ergodico nella media

In parole povere, questo significa che se si calcola la media di una variabile aleatoria del processo su un lungo periodo di tempo, questa media dovrebbe essere uguale alla media di tutte le possibili realizzazioni del processo.

Un processo si dice ergodico nella funzione di autocorrelazione quando

• \(\lim_{M \rightarrow \infty} < x_n X_{n+m} >_M = R_{xx}[m]\)

per caratterizzare esattamente un processo aleatorio occorre mettere in relazione due v.a. in istanti diversi, nel caso di due v.a. \(F_x(x_1,t_1,x_0,t_0)=P(x\{t_1,s_1\} \cap x\{t_0,s_0\} )\) . Iterando il ragionamento si giunge alla conclusione che la caratterizzazione di un p.s. è completa solamente conoscendo la FDP di un numero sufficientemente grande di v.a. \(F(x_n,t_n, ... , x_0,t_0)\);

\(f_x(t_0,t_1,x_0,x_1)=\frac{d^2F_x(t_0,t_1,x_0,x_1)}{dx_0 dx_1}\)

Un processo aleatorio è detto stazionario in senso stretto se le pdf dei campioni e le pdf congiunte di più campioni non sono alterate da una traslazione applicata ai campioni Per esempio, per le pdf congiunte di due campioni, deve valere \(p_{x[n],x[m]}(X,Y)=p_{x[n+k],x[m+k]}(X,Y)\) per ogni valore arbitrario degli interi n, m e k In questo caso, la funzione di autocorrelazione diventa funzione della sola distanza \(n−m\).

La proprietà di stazionarietà in senso stretto è complessa da verificare. Molte proprietà importanti dei processi aleatori si basano su ipotesi meno forti, per esempio la stazionarietà nella media e nella funzione di autocorrelazione

Per processi tempo continuo FDP e fdp sono invarianti rispetto ad ogni traslazione temporale.

• media costante;
• potenza costante;
• \(R_{xx}[n,n+m]=R_{xx}[m]\) e’ una funzione solo di m

p.a. con autocorrelazione dipendente solo dalla variazione temporale \(R_x(t_1,t_2)=R_x(t+\tau,t)=E\{x(t+\tau)x^*(t)\}=R_{xx}(\tau)\) e se il p.a. è di tipo gaussiano si ha anche che la media \(E\{x(t)\}=costante\).

Un p.a. aleatorio in senso stretto lo è anche in senso lato il contrario è vero sse il p.a. è di tipo gaussiano.

Inoltre la variazione istantanea \(\tau=t_2-t_1=0\) dell’autocorrelazione ( potenza ) vale \(R_{xx}(0)=E\{x(t)x^*(t)\}=E\{x^2(t)\}\) ma se il p.a. è di tipo gaussiano allora si ha un valore costante di \(E\{x^2(t)\}=costante\) in quanto la media è costante. Infine se il valore quadratico medio è inteso come potenza istantanea allora se ne conclude che un p.a. stazionario di tipo gaussiano ha una potenza media statica costante.

\(S_{xx}(f)=F[R_{xx}(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}R_{xx}(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d_{\tau}\)

da cui

\(R_{xx}(\tau)=F^{-1}[S_{xx}(f)]=\int_{-\infty}^{\infty}S_{xx}(f)e^{j2\pi t\tau}df\)

Usualmente si considerano processi a media nulla \(\tau=0\) (autocorrelazione coincidente con la autocovarianza)

\(R_{xx}(0)=F^{-1}[S_{xx}(f)]=\int_{-\infty}^{\infty}S_{xx}(f)df=E\{|x(t)|^2\}\)

Invertendo tale relazione abbiamo

Un processo \(w[n]\) è bianco se i suoi campioni sono incorrelati, cioè se vale \(R_{ww}[m]=\sigma ^2 \delta[m]\), dove \(\delta[m]\) è l’impulso discreto unitario. Inoltre La PSD di un processo bianco è costante: infatti, abbiamo \(S_{ww}(F)=F\{R_{ww}[m]\}=\sigma_w ^2\) .

Un processo complesso è un caso particolare di un processo a due dimensioni in cui \(m=n\) nella forma \(\overrightarrow{z(t)}=\overrightarrow{x(t)}+j\overrightarrow{y(t)}\).

Nel caso in cui il processo sia formato da k v.a. complesse questo è determinato quando \(kn=km\) ;

\(F_{z}(t,z)=F_{xy}(\textit{come quella a due dimensioni})=P(\textit{come quella a due dimensioni})\)

Esempio

Una funzione \(x(t,\phi)=Am(t)cos(2{\pi}f_{0}t+\phi )\) è di ddp quando :

sia \(S\) l’insieme campionario delle misure della pressione atmosferica rilevate nel globo in un certo punto del globo di probabilità una data misurazione della pressione atmosferica in un punto della terra costituisce una realizzazione e si indica con la notazione di tipo 2.

1. sia \(x(t)\) un processo tempo continuo;
2. sia \(x[n]=\{x(0),x(T),x(2T),...\}\) il segnale discreto ottenuto da quello continuo;
3. sia \(R_{xx}(\tau)\) l’autocorrelazione per un segnale tempo continuo;
4. sia \(R_{xx}[m]=E\{x[n]x[n+m]\}\) l’autocorrelazione del segnale discreto;
5. utilizzando la 2) per ottenere la 4) sia ha che l’autocorrelazione del segnale discreto \(R_{xx}[nT]=E\{x[nT]y[(n+m)T]\}\) e’ il campionamento della \(R_{xx}(\tau)\).

Quanto sopra puo’ essere applicato anche all densita’ spettrale di potenza di un segnale discreto \(S_{xx}(F)\) che puo’ essere riscritta come periodicizzazione della della densita’ spettrale di potenza di un segnale analogico \(S^{(a)}_{xx}(f)\) con il cambio di variabile \(f \rightarrow F f_c\)