Prodotti Notevoli
Table of Contents
1. Premessa
1.1. Prodotto tra monomi
\begin{equation} \label{eq:103} \begin{split} -3abc * 5c = -15abc^2 \\ 3a * 6b = 18ab \\ -2a * -4b = 8ab \end{split} \end{equation}Regola : Moltiplicare le parti numeriche letterali ( sommando gli esponenti delle lettere uguali ) tenendo conto del segno
1.2. Prodotto di un monomio per un polinomio
\begin{equation} \label{eq:101} \begin{split} -3ab(b^2 + c^3 - b^2)= -3ab^3 - 3abc + 3ab^3 = -3abc \end{split} \end{equation}Regola : Moltiplicare ogni monomio per tutti gli altri e poi semplificare
Nella \eqref{eq:101} prima ho fatto tutti i prodotti poi ho semplificato in quanto vi erano due monomi opposti, quali sono ?
1.3. Prodotti di polinomi
\begin{equation} \label{eq:102} \begin{split} (a^3 + bc + c^4)( bc - a^3 + b)=a^3bc - a^6 + a^b + b^2c^2 - a^3bc + b^2c + bc^4 -a^3c^4 + b c^4 = \\ - a^6 + a^b + b^2c^2 + b^2c + bc^4 -a^3c^4 + b c^4 \end{split} \end{equation}Regola : Moltiplicare ogni monomio del primo polinomio per tutti i monimi del secondo polinomio e poi semplificare
2. Formulario Per Prodotti notevoli
Se non si ricordano le formule a memoria queste possono essere sempre ricavate con le regole del prodotto di polinomi
- Quadrato del binomio \((a+b)^2=a^2 + b^2 + 2ab\)
- Quadrato del trinomio \((x + a + b)^2 = a^2 + 2ab + 2ax + b^2 + 2bx + x^2\)
- Cubo del bionomio \((x + a)^3 = a^3 + 3a^2 x + 3 a x^2 + x^3\)
- Somma per differenza \((a + b)(a -b)=a^2 - b^2\)
hh
Le formule sopra non sono fini a se stesse ma possono essere usate per ricondurre elevazioni a potenza senza una formula a priori a prodotti notevoli la cui soluzione e' notahhh :
- \((x + a)^7 = (x + a)^3 (x + a)^3 (x + a)\) ;
- \((x + a)^9 = (x + a)^3 (x + a)^3 (x + a)^2\)
3. Appunti da scaricare
Questi appunti sono stati estratti dai video della sezione approfondimento. Non cosiderate i disegni sono dispersivi.
4. Approfondimento
4.1. Introduzione
Cosa trovate nel video
- Definizione di binomio;
- Quadrato di un binomio;
- Somma per differenza [(a+b)(a-b)];
Il contenuto video e' stato realizzato dal prof. Elia Bombardelli
4.2. Esercizi
Il contenuto video e' stato realizzato dal prof. Elia Bombardelli
4.3. Cubo del Binomio - quadrato del trinomio
Cosa trovate nel video
- Formula del cubo del binomio;
- Formula del quadrato di un trinomio;
Il contenuto video e' stato realizzato dal prof. Elia Bombardelli
5. Esempi
5.1. Es. 1
Questo esempio evidenzia come si possono usare le proprietà dei prodotti notevoli per semplificare un'espressione.
Semplica la seguente espressione \(-2a^2 - 2b^2 + 4ab\)
5.1.1. Soluzione
L'espressione seguente assomiglia al seguente prodotto notevole \((a-b)^2= a^2 + b^2 - 2ab\) ma con la differenza che tutti i mononi dell'esempio sono moltiplicati per la costante \(-2\) per cui evidenziando la predetta costante otteniamo
\(-2a^2 - 2b^2 + 4ab=-2(a^2 + b^2 - 2ab\))=-2(a-b)2$
5.2. Es. 2
Usando la definizione dei prodotti notevoli risolvi la seguente espressione
\begin{equation} \label{eq:1001} \begin{split} (5a^2 +2ab - c^2)(5a^2 - 2ab + c^2) + (2ab - \frac{1}{2}c^2)^2 \end{split} \end{equation}5.2.1. Soluzione
La vera difficoltà di questo esercizio sta nel riconoscere la moltiplicazione di una somma per la differenza. Negli esercizi più semplici sui prodotti notevoli siamo stati abituati a trovare quasi sempre una formula del tipo: (a+b)(a-b). In realtà è possibile trovare anche qualcosa di più complesso \((a+b-c)(a-b-c)\) per cui può essere scritto come :
\begin{equation} \label{eq:1003} \begin{split} (a+b-c)(a-b-c)=[a +(b-c)][a - (b-c)] = a^2 - (b-c)^2 \end{split} \end{equation}
5.3. Es 3
Semplificare la sequente espressione. Prima di iniziare a svolgere l'esercizio cercare di semplificare
\((a^2 + a^3)^2 - (a^2 + a^3)(a^2 - a^3) -2a^3(a^2 + a^3)\)
5.3.1. Soluzione
Da notare che la scrittura del polinomio \((a^2 + a^3)^2 - (a^2 + a^3)(a^2 - a^3) -2a^3(a^2 + a^3)\) e' perfettamente lecita anche se nella sola lettera \(a\). L'Evidenziare il polinomio \((a^2 + a^3)\) e' lo scopo dell'esercizio in quanto si semplificano notevolmente i calcoli da svolgere.