Regola di Ruffini
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1. Regola di Ruffini
Bisogna sottolineare che la regola di Ruffini non funziona per tutti i polinomi. : a volte, infatti, anche se certi polinomi sono scomponibili non riusciamo ad accorgercene utilizzando questo metodo. Questo è un procedimento che, in certi casi, permette di scomporre un polinomio di grado n nel prodotto di un polinomio di grado n−1 e un polinomio di 1º grado.
ATTENZIONE
Quando nel polinomio da scomporre P(x) mancano dei termini di grado minore al grado n diP(x), nello schema non si devono saltare le colonne corrispondenti a essi, ma bisogna posizionare degli “0” al loro posto. Per esempio, prendiamo il polinomio \(P(x)=x^4 −2x+1\) deve essere riscritto come \(P(x)=x^4 + 0 + 0 − 2x +1\) Da notare che il segno avanti il coeficente \(0\) e' indifferente in quanto tale termine non apporta contributi dunque avremmo potuto riscrivere P(x) come \(P(x)=x^4 + 0 + 0 − 2x +1\).
1.1. Quando non funziona Ruffini
- Divisore di grado superiore a 1: La regola di Ruffini è progettata per divisori di primo grado del tipo (x - a). Se il divisore ha un grado superiore a 1, come (x2 - 2x + 1), allora la regola di Ruffini non è applicabile. In questi casi, potrebbe essere necessario utilizzare altri metodi come la divisione polinomiale lunga.
- Divisore non lineare: Se il divisore non è di grado 1 e non è di tipo lineare (cioè una semplice sottrazione di x), allora la regola di Ruffini non può essere utilizzata. Ad esempio, se il divisore è (x2 + 1), la regola di Ruffini non si applica direttamente.
- Divisore non polinomiale: La regola di Ruffini è specifica per polinomi, quindi non può essere applicata a situazioni in cui il divisore non è un polinomio. Ad esempio, se il divisore è una funzione trigonometrica o esponenziale, la regola di Ruffini non può essere utilizzata.
1.2. Esempio
Scomporre il seguente polinomio \(P(x)=2x^4 + x^3 −8x^2 − x + 6\) utilizzando Ruffini.
1.2.1. Soluzione
Il nostro obiettivo è quello di scomporre P(x) in due polinomi, uno di 3º grado e uno di 1º grado.
- Trovare un numero del tipo \(\frac{a}{b}\) t.c. \(P(\frac{a}{b})=0\)
- \(a\) e' l'elenco dei divisori del termine noto nel nostro caso \(\{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}\);
- \(b\) e' l'elenco dei divisori del coeficente del termine di massimo grado, nel nostro caso \(\{\pm 1, \pm 2\}\);
- e dunque, considerando tutte le combinazioni che l'insieme di completo dei divisori e' \(\{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2} \}\);
- Provare a sostituire alla variabile \(x\) nel polinomio P(x) uno alla volta tutti i numeri dell'insieme di cui al punto 1.3;
- Seguire il procedimento di seguito indicato:
Figure 1: Svolgimento secondo Ruffini
- Prendiamo i numeri scritti sotto la linea orizzontale e li interpretiamo come i coefficienti di un polinomio Q(x). Nel nostro esempio i numeri ottenuti sono nell’ordine \(\{2,−1,−7,6\}\) e quindi abbiamo \(Q(x)=2x^3 − x^2 − 7x + 6\). La regola di Ruffini garantisce che \(P(x)=Q(x)⋅(x−a)\) dato che \(a=−1\) abbiamo \((x−a)=(x+1)\) e quindi \(P(x)=2x^4 +x^3 −8x^2 −x +6 = (2x^3 −x^2 −7x+6)(x+1)\).
2. Teorema di Ruffini
Il teorema di Ruffini, noto anche come teorema del resto, stabilisce che se un polinomio P(x) viene diviso per un binomio del tipo (x - a), allora il resto della divisione è dato dal valore del polinomio in x = a. Formalmente, il teorema di Ruffini può essere enunciato come segue:
Sia P(x) un polinomio di grado n ≥ 1 e sia (x - a) un binomio. La divisione di P(x) per (x - a) produce un quoziente Q(x) e un resto R, entrambi polinomi tali che:
\(P(x)=(x−a)⋅Q(x)+R\)
Il resto R di questa divisione è uguale a P(a), cioè il valore del polinomio P(x) valutato in x = a:
\(R=P(a)\)
Questo teorema fornisce una relazione diretta tra il resto della divisione polinomiale e il valore del polinomio in un punto specifico. Viene comunemente utilizzato insieme alla regola di Ruffini per semplificare la divisione polinomiale e per trovare radici di polinomi.