Analisi 1 - Integrali in \(R\)

\[ \int x \cdot \cos(x^2) dx \]

Osserviamo: \(g(x) = x^2 \Rightarrow g'(x) = 2x\), e noi abbiamo \(x\)

Poniamo \(u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2} du\)

\[ \int x \cos(x^2) dx = \int \cos(u) \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \sin(u) + C = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C \]

\[ \int \frac{x}{x^2 + 1} dx \]

Poniamo \(u = x^2 + 1 \Rightarrow du = 2x dx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2} du\)

\[ \int \frac{x}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \]

\[ \int x \cdot e^x dx \]

• \(u = x \Rightarrow du = dx\)
• \(dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x\)

\[ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C \]

\[ \int \ln(x) dx \]

Scriviamola come:

\[ \int \ln(x) \cdot 1 dx \]

Scegliamo:

• \(u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx\)
• \(dv = dx \Rightarrow v = x\)

\[ \int \ln(x) dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln(x) - \int 1 dx = x \ln(x) - x + C \]

\[ \int x^2 \ln(x) dx \]

Scegli:

• \(u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx\)
• \(dv = x^2 dx \Rightarrow v = \frac{x^3}{3}\)

\[ \int x^2 \ln(x) dx = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{1}{3} \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + C \]

• Se \(f\) è assolutamente integrabile, allora \(f\) è anche integrabile
• Il contrario non vale
• Spazi come \(L^1\) sono definiti solo per funzioni assolutamente integrabili

\[ f(x) = \frac{1}{1 + x^2}, \quad x \in \mathbb{R} \]

Calcoliamo l’integrale improprio

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx \]

Questo è noto e convergente:

\[ = \lim_{A \to +\infty} \int_{-A}^{+A} \frac{1}{1 + x^2} dx = \left[ \arctan(x) \right]_{-A}^{A} = \arctan(A) - \arctan(-A) \]

\[ = 2 \arctan(A) \to 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \]

✅ Converge ⇒ la funzione è assolutamente integrabile su \(\mathbb{R}\)

\[ f(x) = \frac{\sin x}{x}, \quad x \in [1, +\infty) \]

Step 1: calcolo dell'integrale

\[ \int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx \]

È un integrale non assoluto → applica teorema di Dirichlet:

• \(\frac{1}{x}\) è monotona decrescente e tende a 0
• \(\sin x\) è limitata e oscillante

✅ L’integrale converge.

Step 2: integrale del valore assoluto

\[ \int_1^{+\infty} \left| \frac{\sin x}{x} \right| dx \]

• Non c'è cancellazione tra oscillazioni
• Il modulo toglie la compensazione tra positivi e negativi
• Il grafico mostra aree sempre positive e lente a decrescere

Questo integrale diverge, perché:

• Ci sono infiniti intervalli in cui \(|\sin x| \ge \frac{1}{2}\)

• Su questi, \(\frac{|\sin x|}{x} \ge \frac{1}{2x}\)

  Quindi:

  \[ \int_1^{+\infty} \left| \frac{\sin x}{x} \right| dx \ge \int_{S} \frac{1}{2x} dx = \infty \]

❌ Quindi:

\(\frac{\sin x}{x}\) è integrabile, ma non assolutamente integrabile

Infatti :

\(\frac{\sin x}{x}\)

• Oscilla attorno allo 0
• Ampiezza decresce lentamente
• Area totale converge perché le aree positive e negative si compensano

mentre :

\(\left| \frac{\sin x}{x} \right|\)

• Sempre positiva
• L’area accumula tutte le oscillazioni positive
• Somma infinita ⇒ diverge

Funzione	Andamento	Area negativa "annullata"?	Integrale assoluto converge?
\(\frac{\sin x}{x}\)	Oscillante decrescente	Sì	No
( \left\frac{\sin x}{x} \right )	Sempre positiva	No	Diverge

Caso	\(\int f(x) dx\)	\(\int abs(f(x))dx\)	Tipo di integrabilità
1. \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\)	converge	converge	assolutamente integrabile
2. \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\)	converge	diverge	non assolutamente integrabile

Sia \(f, g\) due funzioni positive su \([a, +\infty)\), e continua (o almeno misurabili). Possiamo confrontare gli integrali:

\[ \int_a^{+\infty} f(x)\,dx \quad \text{e} \quad \int_a^{+\infty} g(x)\,dx \]

Se \(0 \leq f(x) \leq g(x)\) per ogni \(x \geq a\), allora:

• Se \(\int_a^{+\infty} g(x)\,dx\) converge, anche \(\int_a^{+\infty} f(x)\,dx\) converge
• Se \(\int_a^{+\infty} f(x)\,dx\) diverge, anche \(\int_a^{+\infty} g(x)\,dx\) diverge

Se:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L \in (0, +\infty) \]

allora i due integrali:

\[ \int_a^{+\infty} f(x)\,dx \quad \text{e} \quad \int_a^{+\infty} g(x)\,dx \]

hanno lo stesso comportamento: convergono o divergono assieme.

Studiamo la convergenza di:

\[ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 + x} dx \]

Osservazione: per \(x \to \infty\):

\[ \frac{1}{x^2 + x} \sim \frac{1}{x^2} \]

perché:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1/(x^2 + x)}{1/x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 + x} = 1 \]

Quindi:

\[ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 + x} dx \sim \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx \]

Poiché \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = 1\), converge, allora converge anche l’altro.

\[ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x + \sin x} dx \]

Per \(x \to \infty\), \(\sin x\) è limitata, quindi:

\[ \frac{1}{x + \sin x} \sim \frac{1}{x} \]

perché:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1/(x + \sin x)}{1/x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + \sin x} = 1 \]

Ma \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \infty\), quindi diverge anche l’integrale dato.

Studia la convergenza di:

\[ \int_2^{+\infty} \frac{1}{x (\ln x)^2} dx \]

Sappiamo che per \(p > 1\):

\[ \int_2^{+\infty} \frac{1}{x (\ln x)^p} dx \quad \text{converge} \]

In questo caso \(p = 2 > 1\), quindi converge. E se \(f(x) \sim \frac{1}{x (\ln x)^2}\), allora possiamo usare il confronto asintotico.

Confronto tra integrali impropri a sinistra:

Esempio:

\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 < \infty \]

ma:

\[ \int_0^1 \frac{1}{x} dx = \infty \]

Quindi: \(\frac{1}{x} \gg \frac{1}{\sqrt{x}}\) per \(x \to 0^+\)

• Determinare convergenza o divergenza di integrali impropri
• Stime asintotiche di integrali complicati
• In fisica: approssimazioni per integrali in meccanica, elettromagnetismo, termodinamica
• In informatica: analisi di algoritmi con modelli continui (es. tempi medi con densità di probabilità)

Situazione	Condizione	Conclusione
\(f(x) \sim g(x)\) per \(x \to \infty\)	\(\lim \frac{f}{g} = 1\)	I due integrali hanno stesso comportamento
\(f(x) \leq g(x)\)	\(\int g\) converge	Anche \(\int f\) converge
\(f(x) \geq g(x)\)	\(\int g\) diverge	Anche \(\int f\) diverge