Analisi 2 - Integrali in \(R^2\) con coordinate polari

• La regione di integrazione è un cerchio, corona circolare, o settore circolare.
• La funzione integranda contiene \(x^2 + y^2\) (es. \(e^{-x^2 - y^2}\), \(\sqrt{x^2 + y^2}\)).

Quando si effettua un cambio di variabili, è necessario introdurre il determinante Jacobiano, che per le coordinate polari è: \[ \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{vmatrix} = r (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r \]

Quindi, l'elemento d'area diventa:

\[dx \, dy = r \, dr \, d\theta\]

Se \(D\) è una regione nel piano \(xy\), l'integrale doppio di \(f(x, y)\) si trasforma in:

\[\iint_D f(x, y) \, dx \, dy = \iint_{D'} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \cdot r \, dr \, d\theta\]

dove \(D'\) è la regione \(D\) espressa in coordinate polari.

1. Identificare la regione di integrazione \(D\)
   • Se \(D\) è un cerchio centrato nell'origine di raggio \(R\), allora \(r \in [0, R]\) e \(\theta \in [0, 2\pi)\).
   • Se \(D\) è un settore circolare, \(\theta\) avrà un intervallo più ristretto (es. \([0, \pi/2]\)).
2. Esprimere la funzione \(f(x, y)\) in polari
   • Sostituisci \(x = r \cos \theta\) e \(y = r \sin \theta\).
3. Inserire il Jacobiano
   • Moltiplica la funzione per \(r\).
4. Calcolare l'integrale iterato
   • Integra prima rispetto a \(r\) e poi rispetto a \(\theta\) (o viceversa).

1. Passiamo a coordinate polari: \[ x^2 + y^2 = r^2, \quad dx \, dy = r \, dr \, d\theta \]
2. La regione \(D'\) diventa \(r \in [0, 1]\), \(\theta \in [0, 2\pi)\).
3. L'integrale diventa: \[ \int_0^{2\pi} \int_0^1 e^{-r^2} \cdot r \, dr \, d\theta \]
4. Risolviamo prima l'integrale in \(r\): \[ \int_0^1 r e^{-r^2} \, dr = \left[ -\frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) \]
5. Poi integriamo in \(\theta\): \[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) \, d\theta = \pi (1 - e^{-1}) \]
6. Risultato finale: \[ \iint_D e^{-x^2 - y^2} \, dx \, dy = \pi \left(1 - \frac{1}{e}\right) \]

Per semplificare il problema, effettuiamo un cambio di variabili per spostare il centro del cerchio nell'origine:

\[u = x - 1, \quad v = y.\]

In queste nuove coordinate, il dominio diventa:

\[u^2 + v^2 \leq 4 \quad \text{(cerchio centrato in } (0,0) \text{ di raggio } 2\text{)}.\]

L'integrale diventa:

\[\iint_{D'} (u + 1 + v) \, du \, dv,\]

dove \( D' \) è il cerchio \( u^2 + v^2 \leq 4 \).

Ora applichiamo le coordinate polari classiche su \( (u, v) \):

\[u = r \cos \theta, \quad v = r \sin \theta, \quad du \, dv = r \, dr \, d\theta.\]

I nuovi limiti di integrazione sono:

• \( r \in [0, 2] \) (raggio da \( 0 \) a \( 2 \)),
• \( \theta \in [0, 2\pi] \) (angolo completo).

L'integrale diventa:

\[\iint_{D'} (r \cos \theta + 1 + r \sin \theta) \cdot r \, dr \, d\theta.\]

Separiamo l'integrale in tre termini:

\[\int_0^{2\pi} \int_0^2 \left( r^2 \cos \theta + r + r^2 \sin \theta \right) dr \, d\theta.\]

Calcoliamo ciascun termine separatamente:

1. Termine \( r^2 \cos \theta \): \[ \int_0^{2\pi} \cos \theta \, d\theta \cdot \int_0^2 r^2 \, dr = 0 \cdot \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^2 = 0. \] (L'integrale di \( \cos \theta \) su un periodo è nullo.)
2. Termine \( r \): \[ \int_0^{2\pi} 1 \, d\theta \cdot \int_0^2 r \, dr = 2\pi \cdot \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^2 = 2\pi \cdot 2 = 4\pi. \]
3. Termine \( r^2 \sin \theta \): \[ \int_0^{2\pi} \sin \theta \, d\theta \cdot \int_0^2 r^2 \, dr = 0 \cdot \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^2 = 0. \] (Anche l'integrale di \( \sin \theta \) su un periodo è nullo.)

Sommando i contributi, otteniamo:

\[\iint_D (x + y) \, dx \, dy = 4\pi.\]

1. Simmetria: I termini con \( \cos \theta \) e \( \sin \theta \) si annullano perché integrati su un periodo completo.
2. Traslazione: La parte \( +1 \) nella funzione \( (u + 1 + v) \) deriva dalla traslazione \( x = u + 1 \).
3. Generalizzazione: Se il centro del cerchio fosse stato in \( (a, b) \), avremmo usato: \[ u = x - a, \quad v = y - b. \]