Analisi 2 - Coordinate cilindriche in \(R^3\)

• \(z\) rimane \(z\).
• \(dV = r\,dz\,dr\,d\theta\) (ordine che preferiamo: \(dz\,dr\,d\theta\)).

• \(\theta\): da \(0\) a \(2\pi\) (tutta la rotazione intorno all’asse \(z\)).
• \(r\): da \(0\) fino all’intersezione con il piano \(z=2\). Poiché sulla superficie \(z=r\) e \(z=2\), allora \(r=2\). Quindi \(r\in[0,2]\).
• \(z\): per ogni \(r\) fissato, \(z\) varia dalla superficie inferiore del cono \(z=r\) fino al piano superiore \(z=2\); quindi \(z\in[r,2]\).

Quindi

\[ I=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=r}^{2} z\,(r\,dz)\,dr\,d\theta. \]

Calcoliamo l’integrale interno \(\displaystyle\int_{z=r}^{2} z\,dz\):

\[ \int_{r}^{2} z\,dz=\left[\tfrac{1}{2}z^2\right]_{z=r}^{z=2}=\tfrac{1}{2}(4-r^2)=2-\tfrac{r^2}{2}. \]

Moltiplichiamo per \(r\) (dal Jacobiano):

\[ r\cdot\left(2-\tfrac{r^2}{2}\right)=2r-\tfrac{r^3}{2}. \]

\[ \int_{0}^{2}\left(2r-\tfrac{r^3}{2}\right)dr = \left[r^2 - \tfrac{r^4}{8}\right]_{0}^{2}. \]

Calcoliamo i termini (passo-passo per evitare errori):

• \(r^2\) valutato in \(2\) è \(2^2=4\).
• \(\tfrac{r^4}{8}\) valutato in \(2\) è \(\tfrac{2^4}{8}=\tfrac{16}{8}=2\).

Quindi l’integrale radiale vale \(4-2=2\).

\[ I=\int_{0}^{2\pi} 2\,d\theta = 2\cdot(2\pi)=4\pi. \]

$\displaystyle \iiint_E z\,dV = 4π.$

Possiamo verificare il risultato usando il fatto noto che il baricentro \(z_{\text{centro}}\) di un cono retto (con apex nell’origine e base piana a \(z=h\)) è \(z_{\text{centro}}=\tfrac{3}{4}h\). Il volume del cono è \(V=\tfrac{1}{3}\pi R^2 h\). Nel nostro caso \(h=2\) e \(R=2\), quindi

\[ V=\tfrac{1}{3}\pi\cdot 2^2\cdot 2=\tfrac{8\pi}{3}, \quad z_{\text{centro}}=\tfrac{3}{4}\cdot 2=\tfrac{3}{2}. \]

Allora \(\displaystyle\iiint_E z\,dV = V\cdot z_{\text{centro}}=\tfrac{8\pi}{3}\cdot\tfrac{3}{2}=4\pi\), che coincide con il risultato trovato — buon controllo di coerenza.

In coordinate cilindriche \((r,\theta,z)\) abbiamo:

• la sfera superiore: \(z=\sqrt{9-r^2}\),
• il cono: \(z=r\).

L’intersezione tra cono e sfera si trova risolvendo \(r=\sqrt{9-r^2}\). Elevando al quadrato:

\[ r^2 = 9 - r^2 \quad\Longrightarrow\quad 2r^2=9 \quad\Longrightarrow\quad r^2=\tfrac{9}{2}, \]

quindi

\[ r=\frac{3}{\sqrt{2}}. \]

Quindi i limiti:

• \(\theta\in[0,2\pi]\),
• \(r\in\bigl[0,\tfrac{3}{\sqrt{2}}\bigr]\),
• per ogni \(r\) fisso, \(z\in[r,\sqrt{9-r^2}]\).

Ricordando \(dV = r\,dz\,dr\,d\theta\), l’integrale diventa

\[ I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3/\sqrt{2}}\int_{z=r}^{\sqrt{9-r^2}} z\; (r\,dz)\; dr\; d\theta. \]

Integrale interno (in \(z\)):

\[ \int_{z=r}^{\sqrt{9-r^2}} z\,dz \;=\; \left[\tfrac{1}{2}z^2\right]_{r}^{\sqrt{9-r^2}} =\tfrac{1}{2}\bigl((9-r^2)-r^2\bigr) =\tfrac{1}{2}(9-2r^2) =\tfrac{9}{2}-r^2. \]

Moltiplichiamo questo risultato per il fattore \(r\) del Jacobiano:

\[ r\Big(\tfrac{9}{2}-r^2\Big)=\tfrac{9}{2}r - r^3. \]

Ora l’integrale in \(r\):

\[ \int_{0}^{3/\sqrt{2}}\Big(\tfrac{9}{2}r - r^3\Big)dr = \Big[\tfrac{9}{4}r^2 - \tfrac{1}{4}r^4\Big]_{0}^{3/\sqrt{2}}. \]

Valutiamo i termini al limite \(r=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\).

• Primo: \(r^2=\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{9}{2}\)
• Secondo: \(r^4=(r^2)^2=\left(\frac{9}{2}\right)^2=\frac{81}{4}\)

Quindi

\[ \tfrac{9}{4}r^2 = \tfrac{9}{4}\cdot \tfrac{9}{2} = \tfrac{81}{8}, \qquad \tfrac{1}{4}r^4 = \tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{81}{4} = \tfrac{81}{16}. \]

La differenza è

\[ \tfrac{81}{8} - \tfrac{81}{16} = \tfrac{162}{16}-\tfrac{81}{16} = \tfrac{81}{16}. \]

Infine l’integrale in \(\theta\):

\[ I=\int_{0}^{2\pi} \frac{81}{16}\,d\theta = \frac{81}{16}\cdot 2\pi = \frac{81\pi}{8}. \]

\[ \boxed{\,\displaystyle \iiint_{E} z\,dV \;=\; \frac{81\pi}{8}\,} \]

Valore decimale approssimato:

\[ \frac{81\pi}{8}\approx 31.8086. \]

La regione \(E\) è il “pezzo” di sfera sopra il cono \(z=r\). L’integrando \(z\) misura il primo momento rispetto al piano \(xy\); il risultato \(\dfrac{81\pi}{8}\) è coerente (si può ricavare un controllo in coordinate sferiche se vuoi).