Analisi 2 - Curve ed integrali curvilinei in \(R^3\)

• Parametrica: \(\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))\) (più flessibile e generale)-

• Implicita: equazioni del tipo:

  \[ F(x,y,z) = 0, \quad G(x,y,z) = 0 \]

  (l’intersezione di due superfici è una curva)

• Esplicita: \(y = g(x)\), \(z = h(x)\) (casi semplici)

• Retta: \(\mathbf{r}(t) = \mathbf{p} + t\mathbf{v}\)
• Cerchio nel piano \(xy\): \(\mathbf{r}(t) = (R\cos t, R\sin t, 0)\)
• Elica: \(\mathbf{r}(t) = (R\cos t, R\sin t, ct)\)

\(\|\mathbf{r}'(t)\|\) è la velocità istantanea del punto che percorre la curva. L’integrale somma queste velocità nel tempo → lunghezza totale.

Per l’elica \(\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)\), \(t\in [0, 2\pi]\):

\[ \mathbf{r}'(t) = (-\sin t, \cos t, 1) \]

\[ \|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2} \]

\[ L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2} \, dt = 2\pi \sqrt{2} \]

Definizione:

\[ \int_\gamma f(x, y, z) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \, \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt \]

Qui \(ds\) rappresenta un infinitesimo di lunghezza.

Interpretazione: Se \(f\) è una densità lineare (massa per unità di lunghezza), questo integrale dà la massa totale di un filo con forma \(\gamma\).

Definizione per un campo vettoriale \(\mathbf{F}(x, y, z) = (P, Q, R)\):

\[ \int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt \]

oppure:

\[ \int_\gamma P\,dx + Q\,dy + R\,dz \]

Qui \((dx, dy, dz) = \mathbf{r}'(t) dt\).

Interpretazione: Lavoro compiuto da un campo di forze \(\mathbf{F}\) per spostare un punto lungo \(\gamma\).

Se:

\[ \varphi(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 \]

allora:

\[ \nabla \varphi = (2x, 2y, 2z) \]

Questo è il campo vettoriale che abbiamo usato nell’esempio del teorema fondamentale degli integrali curvilinei.

Sia \(\mathbf{F} = \nabla \varphi\) un campo vettoriale conservativo, cioè il gradiente di una funzione scalare \(\varphi(x,y,z)\) definita su un dominio aperto e connesso, e sia \(\gamma\) una curva regolare orientata da un punto \(A\) a un punto \(B\). Allora:

\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \varphi(B) - \varphi(A) \]

dove:

• \(\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = P\,dx + Q\,dy + R\,dz\)
• \(\varphi\) è detta funzione potenziale del campo \(\mathbf{F}\)

• L’integrale curvilineo non dipende dal percorso, ma solo dai punti iniziale e finale.
• Se \(\mathbf{F}\) è conservativo, allora \(\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}\) (rotore nullo), in domini semplicemente connessi.

Sia:

\[ \mathbf{F}(x,y,z) = (2x, 2y, 2z) \]

Osservo che \(\mathbf{F} = \nabla \varphi\) con:

\[ \varphi(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 \]

Sia \(\gamma\) una qualsiasi curva da \(A(1,0,0)\) a \(B(2,1,3)\). Allora:

\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \varphi(B) - \varphi(A) = (2^2 + 1^2 + 3^2) - (1^2 + 0^2 + 0^2) \]

\[ = (4 + 1 + 9) - 1 = 14 - 1 = 13 \]

Qualunque sia la forma di \(\gamma\), l’integrale vale 13.

Il corollario principale del teorema fondamentale degli integrali curvilinei è:

Se un campo vettoriale \(\mathbf{F}\) è conservativo, cioè \(\mathbf{F} = \nabla \varphi\) per una funzione potenziale \(\varphi\) definita in un dominio aperto e semplicemente connesso, allora:

1. Indipendenza dal cammino Per ogni coppia di punti \(A\) e \(B\) nel dominio: \[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \] ha lo stesso valore per qualsiasi curva \(\gamma\) che va da \(A\) a \(B\).
2. Integrale lungo curve chiuse Se \(\gamma\) è una curva chiusa (cioè parte e arriva nello stesso punto): \[ \oint_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0 \] perché \(\varphi(B) - \varphi(A) = 0\) quando \(A = B\).

Calcola la “lunghezza pesata” di un filo con densità \(f(x,y,z)=x^2\).

\[ \int_{\gamma} f\,ds =\int_0^{2\pi} f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt =\int_0^{2\pi} \big(R^2\cos^2 t\big)\, R\,dt. \]

Svolgo:

\[ \int_0^{2\pi} R^3\cos^2 t\,dt =R^3\int_0^{2\pi} \frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt =R^3\left[\frac{t}{2}+\frac{\sin(2t)}{4}\right]_0^{2\pi} =R^3\cdot\frac{2\pi}{2}=\boxed{\pi R^3}. \]

Interpretazione: massa del filo (lunghezza \(2\pi R\)) pesata dalla densità \(x^2\).

Scegliamo il campo vettoriale \(\mathbf F(x,y,z)=(-y,\;x,\;0)\). (È il campo di rotazione nel piano.)

\[ \int_{\gamma}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_0^{2\pi} \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)\,dt. \]

Valuto lungo la curva:

• \(\mathbf F(\mathbf r(t))=(-R\sin t,\;R\cos t,\;0)\).
• Prodotto scalare:

\[ \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t) =(-R\sin t)(-R\sin t)+(R\cos t)(R\cos t)=R^2(\sin^2 t+\cos^2 t)=R^2. \]

Quindi

\[ \int_{\gamma}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_0^{2\pi} R^2\,dt =\boxed{2\pi R^2}. \]

Interpretazione: è la circolazione del campo attorno alla circonferenza; qui è positiva e proporzionale all’area \(\pi R^2\).

• Nel primo caso compare \(ds\) (lunghezza): è un integrale su una funzione scalare definita sulla curva.
• Nel secondo caso compare \(d\mathbf r\): integri un campo vettoriale lungo una curva orientata.
• Se \(\mathbf F\) fosse conservativo (\(\mathbf F=\nabla\varphi\)), allora su qualsiasi curva chiusa \(\oint_\gamma \mathbf F\cdot d\mathbf r=0\).