Equazioni Differenziali

Equazione del tipo \(y'(x)=f(y)g(x)\). In questo caso conviene utilizzare la notazione

\begin{equation} \label{eq:105} \begin{split} \frac{d_y}{dx}=f(y)g(x) \end{split} \end{equation}

che verra' poi trasformata in

\begin{equation} \label{eq:106} \begin{split} \frac{d_y}{f(y)}= g(x)d_x \end{split} \end{equation}

da cui

\begin{equation} \label{eq:107} \begin{split} \int \frac{1}{f(y)} d_y= \int g(x)d_x \end{split} \end{equation}

infine

\begin{equation} \label{eq:108} \begin{split} y=G(x)+c \end{split} \end{equation}

NB: dalla \eqref{eq:106} si nota che la soluzione esiste per ogni \(f(y) \neq 0\).

\begin{equation} \label{eq:109} \begin{split} y'(x) + a(x)y(x)=c(x) \end{split} \end{equation}

Trovo una primitiva \(A(x)\) di \(a(x)\) e moltiplico ambi i membri dell'equazione per \(e^{A(x)}\) di modo che ottengo :

\begin{equation} \label{eq:110} \begin{split} y'(x)e^{A(x)} + a(x)y(x)e^{A(x)}= \frac{d}{d_x}(y(x)e^{A(x)})=c(x)e^{A(x)} \end{split} \end{equation}

per cui integrando ambo i membri per \(d_x\) la soluzione della \eqref{eq:110} diventa

\begin{equation} \label{eq:111} \begin{split} y(x)e^{A(x)}=\int c(x)e^{A(x)} d_x \end{split} \end{equation}

ed infine moltlipicando ambo i membri per \(e^{-A(x)}\) ottengo

\begin{equation} \label{eq:112} \begin{split} y(x)=G(x)e^{-A(x)} + ce^{-A(x)} \end{split} \end{equation}

Consideriamo un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine: \[ \frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x} \] con condizione iniziale \( y(0) = 1 \).

Equazione del tipo

\[ ay'' + by' + cy = 0 \]

La cui soluzione consiste nella ricerca delle radici dell'equazione caratteristica.

\[ar^2 + br + c = 0\]

Nella tabella di seguito indicata si riportano le soluzioni generali in funzione delle radici dell'equazione caratteristica associata.hh

Table 1: Soluzioni di un equazione a coeficenti costanti

tipo di radice	Tipo di Soluzioni	Fattore integrante	Soluzione generale
soluzioni reali e distinte		\([y_1(x), y_2(x)]=[e^{\lambda_1 x}\), \(e^{\lambda_2x}]\)	\(y(x) = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}\)
soluzioni reali e coincidenti		\([y_1(x), y_2(x)]=[e^{\lambda x}\), \(xe^{\lambda x}]\)	\(y(x) = c_1e^{\lambda x} + c_2xe^{\lambda x}\)
soluzioni complesse	\(\lambda_{1,2}=\alpha \pm i \beta\)	\([y_1(x), y_2(x)]=[e^{\alpha x}cos(\beta x)\), \(e^{\alpha x}sin(\beta x)]\)	\(y(x)= c_1 e^{\alpha x}cos(\beta x) + c_2 e^{\alpha x}sin(\beta x)\)

Infine le costanti \((c_1,c_2)\) sono ricavate utilizzando le condizioni iniziali di Cauchy.

Equazione del tipo

\[ ay'' + by' + cy = f(x) \]

Si risolvono sommando alla soluzione generale dell'omogenea associata una soluzione dell'equazione particolare associata y_p(x) (metodo di somiglianza o variazione dei parametri).

Il metodo della somiglianza funziona bene quando:

• L'equazione differenziale è lineare a coefficienti costanti.
• Il termine f(x) è una combinazione di:
  • Polinomi (xⁿ);
  • Esponenziali (e^kx);
  • Funzioni trigonometriche sin(kx), cos(kx);
  • Prodotti di queste funzioni.

Si trovi la soluzione dell'equazione

\[y'' + 3y' + 2y = e^{-x}\]

Questa è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea, dove:

• \( p(x) = 3 \),
• \( q(x) = 2 \),
• \( g(x) = e^{-x} \).

Passi per risolvere l'equazione

1. Risolvere l'equazione omogenea associata

L'equazione omogenea associata \[y'' + 3y' + 2y = 0\]

Troviamo la soluzione generale dell'omogenea risolvendo l'equazione caratteristica:

\[r^2 + 3r + 2 = 0\]

Le radici sono: \[r = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2}\]

\[r_1 = -1, \quad r_2 = -2\]

Quindi, la soluzione generale dell'omogenea è:

\[y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}\]

dove \( C_1 \) e \( C_2 \) sono costanti arbitrarie.

1. Trovare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea

Per trovare una soluzione particolare \( y_p(x) \), usiamo il metodo di somiglianza (o metodo dei coefficienti indeterminati). Poiché il termine noto è \( g(x) = e^{-x} \), proviamo una soluzione della forma:

\[y_p(x) = A x e^{-x}\]

(Nota: moltiplichiamo per \( x \) perché \( e^{-x} \) è già una soluzione dell'omogenea.)

Calcoliamo le derivate di \( y_p(x) \):

\[y_p'(x) = A e^{-x} - A x e^{-x} = A(1 - x) e^{-x}\]

\[y_p''(x) = -A e^{-x} - A(1 - x) e^{-x} = A(x - 2) e^{-x}\]

Sostituiamo \( y_p \), \( y_p' \) e \( y_p'' \) nell'equazione non omogenea:

\[A(x - 2) e^{-x} + 3A(1 - x) e^{-x} + 2A x e^{-x} = e^{-x}\]

Semplifichiamo:

\[A(x - 2 + 3 - 3x + 2x) e^{-x} = e^{-x}\] \[A(1) e^{-x} = e^{-x}\]

Quindi:

\[A = 1\]

La soluzione particolare è: \[y_p(x) = x e^{-x}\]

1. Soluzione generale dell'equazione non omogenea

La soluzione generale è la somma della soluzione dell'omogenea e della soluzione particolare:

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x)\]

\[y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + x e^{-x}\]

Risultato finale La soluzione generale dell'equazione differenziale non omogenea è:

\[y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + x e^{-x}\]

dove \( C_1 \) e \( C_2 \) sono costanti determinate dalle condizioni iniziali.

In riferimento all'esempio precedente supponiamo di avere le condizioni iniziali: \[y(0) = 1, \quad y'(0) = 0\]

1. Calcoliamo \( y(0) \): \[y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} + 0 \cdot e^{0} = C_1 + C_2 = 1\]
2. Calcoliamo \( y'(x) \): \[y'(x) = -C_1 e^{-x} - 2C_2 e^{-2x} + e^{-x} - x e^{-x} \] Quindi: \[y'(0) = -C_1 - 2C_2 + 1 - 0 = -C_1 - 2C_2 + 1 = 0\]

3. Risolviamo il sistema: \[

   \begin{cases} C_1 + C_2 = 1 \\ -C_1 - 2C_2 = -1 \end{cases}

   \] Dalla prima equazione: \( C_1 = 1 - C_2 \).

   Sostituendo nella seconda:

   \[ -(1 - C_2) - 2C_2 = -1 \Rightarrow -1 + C_2 - 2C_2 = -1 \Rightarrow -C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0 \]

   Quindi \( C_1 = 1 \).

4. La soluzione particolare con le condizioni iniziali è: \[ y(x) = e^{-x} + x e^{-x} \]