1. Definizione
La trasformata di Laplace di una funzione \( f(t) \), definita per \( t \geq 0 \), è una funzione \( F(s) \) definita come:
\[ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt \]
dove:
- \( s \) è una variabile complessa (\( s = \sigma + j\omega \)).
- \( f(t) \) è una funzione del tempo.
- \( F(s) \) è la trasformata di Laplace di \( f(t) \).
2. Proprietà principali
- Linearità: \[\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)\] dove \( a \) e \( b \) sono costanti.
- Trasformata della derivata: \[\mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0)\] Per derivate di ordine superiore: \[\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)\]
- Trasformata dell'integrale: \[\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau) \, d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s}\]
- Traslazione nel tempo: \[\mathcal{L}\{f(t - a) u(t - a)\} = e^{-as} F(s)\] dove \( u(t - a) \) è la funzione gradino unitario.
- Traslazione in \( s \): \[\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)\]
- Scalatura nel tempo: \[\mathcal{L}\{f(at)\} = \frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right) \]
3. Esempi di trasformate comuni
- Funzione gradino unitario \( u(t) \): \[\mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s}\]
- Esponenziale \( e^{at} \): \[\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a}\]
- Funzione seno \( \sin(\omega t) \): \[\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\]
- Funzione coseno \( \cos(\omega t) \): \[\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}\]
4. Applicazioni
- Risoluzione di equazioni differenziali: La trasformata di Laplace converte equazioni differenziali in equazioni algebriche, semplificandone la risoluzione.
- Analisi di sistemi dinamici: È usata per studiare la stabilità e la risposta temporale di sistemi lineari.
- Teoria dei circuiti: Permette di analizzare circuiti elettrici in regime transitorio e permanente.
- Controlli automatici: È fondamentale per progettare e analizzare sistemi di controllo.
5. Trasformata inversa di Laplace
La trasformata inversa di Laplace permette di ritornare dalla funzione \( F(s) \) alla funzione originale \( f(t) \): \[f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}\] Si calcola spesso utilizzando tabelle di trasformate note o tecniche come la scomposizione in fratti semplici.
6. Conclusione
La trasformata di Laplace è uno strumento potente e versatile per l'analisi di sistemi lineari e la risoluzione di equazioni differenziali. La sua capacità di convertire problemi complessi in forma algebrica la rende indispensabile in molti campi dell'ingegneria e della scienza.
7. Risoluzione di un equazione differenziale
La risoluzione di equazioni differenziali utilizzando la trasformata di Laplace è un metodo molto efficace, soprattutto per equazioni lineari a coefficienti costanti. Il processo consiste nel trasformare l'equazione differenziale dal dominio del tempo (\( t \)) al dominio di Laplace (\( s \)), risolvere l'equazione algebrica risultante e poi applicare la trasformata inversa per ottenere la soluzione nel dominio del tempo.
Ecco i passaggi dettagliati:
7.1. 1. Trasformare l'equazione differenziale
Applica la trasformata di Laplace a entrambi i lati dell'equazione differenziale. Usa le proprietà della trasformata di Laplace per convertire le derivate e le funzioni nel dominio di \( s \).
- La trasformata di una derivata \( f'(t) \) è: \[\mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0)\]
- La trasformata di una derivata seconda \( f''(t) \) è: \[\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)\]
- E così via per derivate di ordine superiore.
7.2. 2. Risolvere l'equazione algebrica in \( s \)
Dopo aver applicato la trasformata, l'equazione differenziale diventa un'equazione algebrica in \( F(s) \). Risolvi questa equazione per trovare \( F(s) \), la trasformata di Laplace della soluzione \( f(t) \).
7.3. 3. Applicare la trasformata inversa
Una volta trovata \( F(s) \), applica la trasformata inversa di Laplace per ottenere la soluzione \( f(t) \) nel dominio del tempo: \[f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}\]
7.4. Esempio pratico
Consideriamo un'equazione differenziale lineare del secondo ordine con condizioni iniziali:
\[y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 0\] con condizioni iniziali: \[y(0) = 1, \quad y'(0) = 0\]
7.5. Passo 1: Applicare la trasformata di Laplace
Trasformiamo ogni termine dell'equazione: \[\mathcal{L}\{y''(t)\} + 3\mathcal{L}\{y'(t)\} + 2\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{0\}\]
Usando le proprietà della trasformata: \[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 3(s Y(s) - y(0)) + 2 Y(s) = 0\]
Sostituiamo le condizioni iniziali \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \): \[s^2 Y(s) - s \cdot 1 - 0 + 3(s Y(s) - 1) + 2 Y(s) = 0\]
7.6. Passo 2: Risolvere per \( Y(s) \)
Raccogliamo i termini: \[s^2 Y(s) - s + 3s Y(s) - 3 + 2 Y(s) = 0\] \[(s^2 + 3s + 2) Y(s) - s - 3 = 0\]
Isoliamo \( Y(s) \): \[Y(s) = \frac{s + 3}{s^2 + 3s + 2}\]
Fattorizziamo il denominatore: \[s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)\] Quindi: \[Y(s) = \frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)}\]
7.7. Passo 3: Scomposizione in fratti semplici
Scomponiamo \( Y(s) \) in fratti semplici: \[\frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2}\]
Risolviamo per \( A \) e \( B \): \[s + 3 = A(s + 2) + B(s + 1)\] Per \( s = -1 \): \[-1 + 3 = A(1) \Rightarrow A = 2\] Per \( s = -2 \): \[-2 + 3 = B(-1) \Rightarrow B = -1\]
Quindi: \[Y(s) = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{s + 2}\]
7.8. Passo 4: Applicare la trasformata inversa
Applichiamo la trasformata inversa di Laplace a ciascun termine: \[y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s + 1}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s + 2}\right\}\]
Usando le trasformate inverse note: \[y(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}\]
7.9. Risultato finale
La soluzione dell'equazione differenziale è: \[y(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}\]
7.10. Riassunto dei passaggi
- Trasforma l'equazione differenziale in un'equazione algebrica in \( s \).
- Risolvi l'equazione algebrica per \( Y(s) \).
- Scomponi \( Y(s) \) in fratti semplici (se necessario).
- Applica la trasformata inversa per trovare \( y(t) \).