Trasformata di Hilbert

La Trasformata di Hilbert è una particolare rappresentazione che, contrariamente ad altre trasformate (Fourier, Laplace, Z, …) non realizza un cambiamento del dominio di definizione ed definita come la convoluzione di una generica funzione \(x(t)\) e la funzione di Hilbert \(H(t)=\frac{1}{\pi t}\) ( vds \eqref{eq:102} ). Da notare che nell'analisi dei sistemi LTI coincide con la risposta impulsiva.

\begin{equation} \label{eq:102} \begin{split} \hat{x}(t)=x(t) \otimes \frac{1}{\pi t}=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau) \frac{1}{t- \tau} d_{\tau} =\\ \frac{1}{\pi} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} [ \int_{-\infty}^{t - \epsilon }x(\tau) \frac{1}{t- \tau} d_{\tau} + \int_{t + \epsilon }^{\infty}x(\tau) \frac{1}{t - \tau} d_{\tau} ]= A(t)+ jB(t) \end{split} \end{equation}

Una TDH è una funzione complessa che ha le seguenti proprietà:

• La componente reale della trasformata di Hilbert è uguale alla funzione reale x(t) e rappresenta l'ampiezza del segnale mentre la componente immaginaria è uguale alla fase di x(t) ritardata di un quarto di periodo e questo rende la TDH simmetrica rispetto all'asse immaginario. La fase di una funzione è un valore che descrive la direzione della variazione della funzione nel tempo. Ad esempio, se una funzione è crescente, la sua fase è positiva. Se una funzione è decrescente, la sua fase è negativa.
• È ortogonale alla trasformata di Fourier di una funzione reale.
• Il segnale \(x(t)\) e la sua TDH sono ortogonali \(=0\);
• Due segnali che differiscono di una costante hanno la stessa TDH;

Dalla defizinione di TDF della funzione \(sgn(t)\)

\begin{equation} \label{eq:103} \begin{split} \mathfrak{F}[sgn(t)]= \frac{1}{j \pi f} \rightarrow sgn(-t)=-sgn(t) \end{split} \end{equation}

inoltre moltiplicando il tutto per l'unita' immaginaria \(j\) si ottiene

\begin{equation} \label{eq:104} \begin{split} \mathfrak{F}[ j \frac{1}{j \pi f}]= -j sgn(t) \end{split} \end{equation}

per la TDF della TDH

\begin{equation} \label{eq:105} \begin{split} \mathfrak{F}[\hat{x}(t)]=\mathfrak{F}[x(t) \otimes \frac{1}{ \pi f}] = -j X(f) sgn(f) \end{split} \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:106} \begin{split} x(t)= - \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{x}(\tau) \frac{1}{t- \tau} d_{\tau} = \hat{x}(t) \otimes (- \frac{1}{\pi t}) \end{split} \end{equation}

In riferimento al successivo schema se il circuito LTI ha una risposta impulsiva del tipo \(h(t)=\frac{1}{\pi t}\) la sua funzione di trasferimento risulta essere \(H(f)=-jsgn(f)\) otteniamo un modo per ottenere la TDH del segnale in ingresso.

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