Serie di Fourier

In uno spazio vettoriale, un prodotto interno è una funzione che associa a ciascuna coppia di vettori un numero appartenete allo stesso campo delle componenti dei vettori. In pratica se le componenti sono reali il prodotto interno e' un numero reale. Questa funzione soddisfa alcune proprietà, come la linearità e la simmetria. Nel caso di un vettore coincide anche con il quadrato della norma.

A livello geometrico rappresenta la proiezione

\begin{equation} \label{orgfb8b4ff} <\vec g,\vec w >=\int \lvert g(t) w^c(t) \rvert d_{t} \end{equation}

da notare che nella precedente definizione l'argomento dell'integrale e' una somma di monomi e nel caso di vettori finiti si ha³ :

\begin{equation} \langle g,w\rangle= \sum_{i=1}^{n} g_i w^T_i \end{equation}

in cui l'argomento della sommatoria vale

\begin{equation} \begin{bmatrix} g_{1} & \cdots & g_{n}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_{1} \\ \vdots \\ w_{n} \\ \end{bmatrix} \end{equation}

E' la radice quadrata del prodotto interno applicato ad uno stesso vettore. E' uno scalare è reale

\begin{equation}\begin{split} \label{org0e7818d} ||\vec{v}||=\sqrt{u_1^2 + ... + u_n^2} \end{split}\end{equation} \begin{equation} \label{org6f8dcc9} \lVert \vec g \rVert = (<\vec g,\vec g >)^{1/2}=(\int \lvert g(t)g^c(t) \rvert d_{t})^{1/2} \end{equation}

1. Positività: ∣∣w∣∣ ≥ 0 , e ∣∣w∣∣=0 sse w=0;
2. Omogeneità: ∣∣α w∣∣ =∣∣α∣∣∣∣w∣∣ per ogni scalare α;
3. Disuguaglianza triangolare: ∣∣v+w∣∣≤∣∣v∣∣+∣∣w∣∣ (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz).

Questa misura rappresenta la distanza percorsa lungo gli assi ortogonali per raggiungere il punto di destinazione.

\begin{equation} \label{orgfceaad7} d(\vec g, \vec w )=||\vec{g}-\vec{w}||=||\vec{k}||=(\int_{a}^{b} |k(t)k^c(t)| d_{t})^{1/2} \end{equation}

in cui l'intervallo \([a,b]\) è quello di definizione dei segnali e può essere illimitato. Distanza e norma possono essere messe in relazione tramite :

\begin{equation} \label{org3ca306d} d(\vec g, 0)= (\int \lvert g(t) - 0) \rvert d_{t})^{1/2}=(\int (\lvert g(t)g^c(t) \rvert)^2 d_{t})^{1/2}=\lvert <\vec g, \vec g> \rvert^{1/2}=\lVert \vec g \rVert \end{equation}

la norma di un vettore è la sua distanza dall'origine.

Vettori con norma unitaria definiti come nella \eqref{orgcc8ff78}. Il versore mantiene la stessa direzione del vettore originale, questo rende i versori utili in situazioni in cui è importante descrivere solo la direzione di un vettore senza preoccuparsi della sua magnitudine.

Ad esempio, se hai un vettore velocità \(\vec g\) che rappresenta il movimento di un oggetto e vuoi descrivere solo la direzione del movimento indipendentemente dalla velocità effettiva, puoi utilizzare il versore

\begin{equation} \label{orgcc8ff78} \vec \phi = \frac{\vec g}{\lVert \vec g \rVert} \end{equation}

L'ineguaglianza di Schwartz impone un limite superiore al prodotto scalare che e' massimo quando i due vettori sono allineati.

\begin{equation} \label{eq:1101 } \begin{split} |<\vec{g}, \vec{w}>| \leq ||g|| \; ||w|| \end{split} \end{equation} \begin{equation}\begin{split} \label{orgfadf81b} <\vec g, \vec w> \leq \lvert <\vec g, \vec w> \rvert \leq \lvert <\vec g, \vec w> \rvert^2 \\ = \int \lvert g(t)w^c(t) \rvert^2 d_{t}= \\ \int \lvert g(t)\rvert^2 \lvert w^c(t) \rvert^2 d_{t} \leq \int \lvert g(t)\rvert^2 d_{t} \int \lvert w^c(t) \rvert^2 d_{t} = \\ \lVert \vec g \rVert^2 \lVert \vec w \rVert^2 \end{split}\end{equation}

da cui

\begin{equation} \label{orge73b26b} <\vec g, \vec w> \leq \lVert \vec g \rVert^2 \lVert \vec w \rVert^2 \end{equation}

Dalla \eqref{orge73b26b} si ha

\begin{equation} \label{org431429b} \frac{<\vec g, \vec w>}{\lVert \vec g \rVert^2 \lVert \vec w \rVert^2} \leq 1 \end{equation} \begin{equation} \label{orgc0c7138} \frac{|<\vec g, \vec w>|}{|\lVert \vec g \rVert^2 \lVert \vec w \rVert^2|} \leq 1 \end{equation} \begin{equation} \label{eq:sw} \frac{|<\vec g, \vec w>|}{\lVert \vec g \rVert \lVert \vec w \rVert} = \cos(\theta) \leq 1 \end{equation}

che vale 1 solo se i vettori sono lineramenti indipendenti ( vds \eqref{eq:155} ) cioe' l'angolo tra vettori e' \(0\) linearmente dipendenti, mentre vale 0 se l'angolo tra vettori e' \(\frac{\pi}{2}\). In pratica la disuguaglianza indica se due vettori sono linearmente indipendenti \(=0\) oppure se sono dipendenti \(\neq 0\).

Versori a due a due perpendicolari cioe' versori a due a due in cui la loro disuguaglianza di S. e' nulla.

In riferimento alla fig 2 si ha la \eqref{eq:00}

\begin{equation} \label{eq:00} {< \vec{v} \times \vec{w} >}={\vec{P_w} + \vec{Q}, \vec{w}} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:7 } <\vec{v} \times \vec{w}> = <(\vec{P_w(v)} \times \vec{w} > + <\vec{Q} \times \vec{w}> \end{equation}

ma

\begin{equation} \label{eq:8 } <\vec{Q} \times \vec{w}> = 0 \end{equation}

perche' Q ⊥ w per cui

\begin{equation} \label{eq:9 } <\vec{v} \times \vec{w}>= <\lambda \vec{w} \times \vec{w}>= \lambda< \vec{w} \times \vec{w}> \end{equation} \begin{equation} \label{eq:10} \lambda = \frac{<\vec{v} \times \vec{w}>}{||w||^2}=\frac{<\vec{v} \times \vec{w}>}{||w||||w||} \end{equation} \begin{equation} \label{dim1} \vec{P_w}=\lambda \vec{w} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:11 } \vec{P_w}=\frac{<\vec{v} \times \vec{w}>}{||w||||w||}=\vec{w}=<\vec{v},vers(w)>vers(w) \end{equation}

inoltre dalla \eqref{eq:15} si ottiene l'espressione geometrica del prodotto scalare :

\begin{equation} \label{eq:16} cos(\theta)(|| \vec v ||\; || \vec w ||)= <\vec v,\vec w> \end{equation} \begin{equation} \label{eq:010} \begin{split} \vec{P_w} = < \vec{v} \times \frac{\vec{w}}{||w||} >\frac{\vec{w}}{||w||}= < \vec{v} \times vers(w)> vers(w)= \\ cos(\theta)\vec{v}vers(w) \end{split} \end{equation}

\(\vec{P_w}\) puo' essere visto come l'iesimo elemento della SDF mentre \(cos(\theta)\vec{v}\) puo' essere visto come il coeficente della SDF mentre il versore w come un armonica. Questo dimostra inoltre come una genrica armonica contribuisce alla ricostruzione del segnale.

Cosi come la \eqref{eq:19} rappresenta il vettore \(\vec{V}\) ( vds fig. 3 ) la SDF rappresenta il segnale \(g\) all'instante \(t\) ( vds fig. 4 ). L'argomento della SDF e' la somma degli \(n\) segnali sinusoidali \(e^{j2\pi\frac{n}{T}t}\) ognuno dei quali di ampiezza \(G_n\). Nel caso si usino i vettori per rappresentare i segnali allora la SDF puo' essere interpretata come la somma delle norme dei vettori \(G_ne^{j2\pi\frac{n}{T}t}\).

In entrambi, quello del vettore e quello della SDF, l'argomento e' il prodotto di due parti in cui il primo e' un coeficente ottenibile mediante prodotto interno e il secondo e' un versore :

• per il vettore : \(v_i=<\vec{v}, \textit{w}>\) \(i-esima\) proiezione di \(V\) lungo il versore \(w_i\)
• per la SDF : il coeficente moltiplicativo \(G_n\) ( vds \eqref{eq:gn} ) per l' \(n-esima\) sinusoide;

\begin{equation} \label{eq:gn} G_n = < g(t),e^{j 2\pi \frac{n}{T} t} > \end{equation} \begin{equation} \label{eq:19} \vec V = \sum_{i=1}^{n} v_i w_i \end{equation}

• se la base e' completa il vettore \(\vec v\) e' rappresentato esattamente;

• se la base non e' completa abbiamo un'approssimazione con un errore \(\vec{x} \perp \vec e\) - vds fig. 5. Per capire l'errore basta guardare la fig 4 in cui il segnale \(x(t)\) e' il risultato di una SDF parziale (\([n_1,n_2,n_3]\)) che differisce dal segnale \(g(t)\) e la differenza tra il \(\vec{e}=\vec{g} - \vec{x}\) che e' perpendicolare alla proiezione di \(\vec{x}\) lungo il versore dell'asse delle ascisse;

  Nella pratica comune una qualsiasi funzione periodica \(x(t)\) di periodo T può essere rappresentata nel suo spazio di esistenza da versori complessi del tipo \(\frac{1}{\sqrt T}e^{j2\pi\frac{k}{T}t}\) per cui il coeficente della SDF diventa :

\begin{equation} c_k =\langle g(t),\frac{e^{j 2\pi \frac{k}{T} t}}{\sqrt T} \rangle = \frac{1}{\sqrt T} \int_{- T/2}^{T/2} g(t) e^{-j2\pi\frac{k}{T}t} d_{t} \end{equation}

Per cui la SDF complessa diventa come la seguente in cui ogni termine \(c_k(t)\) e' una sinusoide :

\begin{equation} g(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k \frac{1}{\sqrt T} e^{j2\pi \frac{k}{T} t} = \sum_{k=-\infty}^{\infty} G_k e^{j2 \pi \frac{k}{T}t}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k(t) \end{equation}

con

\begin{equation} \label{org43bb59e} G_k = \frac{1}{T} \int_{- T/2}^{T/2} g(t) e^{-j2\pi\frac{k}{T}t} d_{t} \end{equation}

VDS Trasformata di Fourier

Partendo dall'osservazione che

\begin{equation} \label{orge21fed5} g(t)=\sum_{k=-\infty}^{-1} G_ke^{j2\pi\frac{k}{T}t} + G_0 + \sum_{k=1}^{\infty}G_ke^{j2\pi\frac{k}{T}t} \end{equation}

invertendo la prima parte della \eqref{orge21fed5} e cambiando di segno all'indice si ottiene⁴

\begin{equation} g(t)=\sum_{k=1}^{\infty} G_{-k}e^{j2\pi\frac{-k}{T}t} + G_0 + \sum_{k=1}^{\infty}G_ke^{j2\pi\frac{k}{T}t} \end{equation}

per cui se \(\phi=e^{j2\pi\frac{k}{T}t}\) allora \(\phi^c=e^{j2\pi\frac{-k}{T}t}\) e \(G_{-k}=G^c_k\), dunque

\begin{equation} \label{eq:006} g(t)=G_0 + \sum_{k=1}^{\infty} [G^c_k\phi^c + G_k\phi] \end{equation}

Per il passaggio dalla forma reale trigonometrica bisogna ricordare che per le funzioni reali che \(g(t)=X^c(t)\) se anche \(G^c_k\phi^c = G_k\phi\) la \eqref{eq:006} diventa:

\begin{equation} \phi = e^{j2\pi\frac{k}{T}t} =\cos(2\pi\frac{k}{T}t) + j\sin(j2\pi\frac{k}{T}t) \end{equation}

ricordando la struttura di un numero complesso \(G_k=A_k+ jB_k\) la \eqref{eq:006} diventa

\begin{equation} \label{eq:0007} \begin{split} G_k\phi_k + G_k^c\phi^c= G_k[\cos(2\pi\frac{k}{T}t)+jsin(2\pi\frac{k}{T}t)] + G_k^c[\cos(-2\pi\frac{k}{T}t) + j sin(-2\pi\frac{k}{T}t)] = \\ = G_k[\cos(2\pi \frac{k}{T} t ) + j sin(2\pi \frac{k}{T} t)] + G_k^c [\cos(2\pi \frac{k}{T} t) - j sin(2\pi \frac{k}{T} t)] = \\ = ... = 2Re\{G_k\} \cos(2\pi \frac{k}{T} t) + 2Im\{G_k\} sin(2\pi \frac{k}{T} t) =\\ = \frac{A_k}{2} \cos(2\pi \frac{k}{T} t) - \frac{B_k}{2} sin(2\pi \frac{k}{T} t) \end{split} \end{equation}

Per cui la \eqref{eq:006} la SDF diventa un polinomio trigonometrico del tipo

\begin{equation} g(t)=\frac{A_o}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{A_k}{2}\cos(2\pi\frac{k}{T}t) - \frac{B_k}{2}sin(2\pi\frac{k}{T}t) \end{equation}

in cui

\begin{equation} A_k=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}g(t)\cos(2\pi\frac{k}{T}t) d_t \end{equation} \begin{equation} \label{orgce73076} B_k=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}g(t)\sin(2\pi\frac{k}{T}t) d_t \end{equation}

NB : quando g(t) reale pari \(B_k=0\) quando è reale ed dispari \(A_k=0\).

Per esprimere la SDF in modulo e fase basta osservare che

\begin{equation} G_k=\lvert G_k \rvert e^{j\theta} \end{equation}

per cui la \eqref{eq:006} può essere riscritta come segue

\begin{equation} \begin{split} g(t)=G_0 + \sum_{k=1}^{\infty}\lvert G_k \rvert e^{j\theta_k}[e^{j2\pi\frac{k}{T}t} + e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}]= \\ G_0 + \sum_{k=1}^{\infty}\lvert G_k \rvert 2e^{j\theta_k} 2 \frac{[e^{j2\pi\frac{k}{T}t} + e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}]}{2}= \\ G_0 + 2\sum_{k=1}^{\infty}\lvert G_k \rvert \cos(2\pi\frac{k}{T}t + \theta_k) \end{split} \end{equation}

in cui \(G_0\) rappresenta il valor medio del segnale.

Al fine di meglio comprendere il concetto di spettro di ampiezza e fase si osservi la seguente figura

NB : si definisce fase \(\angle{G_k}=\theta_k\) per cui

\(g(t)\)	Modulo	Fase	svil. trigonom.
reale	\(G^c_k=G_{-k}\)	\(\angle{G^c_k}=-\angle{G_{-k}}\)	\(\cos\) e \(\sin\)
reale pari	\(G_k=G_{-k}\)	\(\angle{G^c_k}=0\)	solo \(\cos\)
reale dispari	\(G_k=-G_{-k}\)	\(\angle{G^c_k} \in \{-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\}\)	solo \(\sin\)

La condizione di Dirichlet è una delle condizioni che possono essere utilizzate per garantire la convergenza della serie di Fourier per una funzione periodica. Essa è comunemente formulata per una funzione

La condizione di Dirichlet richiede che:

1. La funzione f(x) deve essere periodica e di banda limitata, il che significa che deve avere un numero finito di massimi e minimi su ogni periodo T.
2. Il numero di punti in cui f(x) ha discontinuità di prima specie (discontinuità a salto finito) deve essere finito su ogni periodo T.

In altre parole, la condizione di Dirichlet impone limiti alla crescita della funzione e al numero di discontinuità per garantire la convergenza della serie di Fourier.

La formulazione matematica della condizione di Dirichlet può essere più precisa, ma l'idea generale è quella di garantire che la funzione sia "abbastanza regolare" e non cresca in modo eccessivo per garantire la convergenza della serie di Fourier.

Se una funzione soddisfa la condizione di Dirichlet, allora la sua serie di Fourier converge puntualmente ai valori di f(x) nei punti di continuità di f(x) e ai punti di discontinuità di f(x) dove f(x) ha limiti destro e sinistro.

La condizione di Dirichlet è una delle condizioni più comuni utilizzate per garantire la convergenza della serie di Fourier, ma ci sono anche altre condizioni, come la condizione di Riemann-Lebesgue, che possono essere utilizzate per studiare la convergenza delle serie di Fourier in contesti specifici.