Delta di Dirac

Permette di estendere il concetto di TDF anche a segnali con discontinuità oppure a segnali periodici rappresentabili con la TDF come ad esempio i segnali ad energia infinita quali, ad esempio, quelli con componente continua.

Cambio di paradigma sul significato dell'integrale non più come somma di Reiman ma come funzione che associa ad ogni valore del suo argomento ( funzione ) uno scalare. Un funzionale è definito come segue :

\(I_{\phi(t)}=\int_{a}^b f(t)\phi(t)d_{t}\)

in cui \(\phi(t)\) è una funzione di test a supporto compatto, cioè \(\phi(t) \in C^{\infty}\) è diversa da zero in \([a,b]\) che da significato all'integrale. Ad esempio se \(\phi(t)=1\) allora \(I_{\phi}\) è l'area dell'integrale.

Quando un funzionale è lineare e continuo allora è una distribuzione.

E' quella funzione t.c. il suo funzionale per qualunque funzione di test risulta \(\phi(0)=\int \delta(t)\phi(t)d_{t}\)

1. proprietà campionatrice : La relazione \(\int \delta(t)\phi(t)d_{t}=\phi(0)\) è conosciuta come la proprietà campionatrice della delta di Dirac. Infatti \(\int \delta(t)f(t)d_{t}=\int \delta(0)f(0)d_{t}=f(0)\) in quanto la delta di D. è definita solo in 0.
2. Simmetria : \(\delta(t)=\delta(-t)\)
3. covoluzione : \(g(t)*\delta(t)=\int g(t)\delta(t-\alpha)d_{t}=g(\alpha)\) in pratica la covoluzione restituisce l'identita';
4. Moltiplicazione per uno scalare : \(\int A\delta(t)d_{t}=A\)

Per comprendere il significato della derivata distribuzionale ci si basa sulla proprietà della derivazione del prodotto di funzioni:

\(\frac{d}{d_{t}}f(t)\phi(t)=f'(t)\phi{t}+f(t)\phi'(t)\)

da cui :

\begin{equation}\begin{split} \int \frac{d}{d_{t}}f(t)\phi(t) d_{t}= \\ \int f'(t)\phi{t}+f(t)\phi'(t)d_{t}=\\ \int f'(t)\phi{t} d_{t} + \int f(t)\phi'(t) d_{t} \\ \end{split}\end{equation} \begin{equation}\begin{split} \int f'(t)\phi(t)d_{t}= [f(t)\phi(t) ]^{t=\infty}_{t=-\infty} - \int f(t)\phi'(t) d_{t}\\ \end{split}\end{equation} \begin{equation}\begin{split} \int f'(t)\phi(t)d_{t}= - \int f(t)\phi'(t) d_{t}\\ \end{split}\end{equation}

in cui \([f(t)\phi(t) ]^{t=\infty}_{t=-\infty}=0\) in quanto \(\phi(t)\) è a supporto compatto, inoltre essendo \(\phi(t)\) una funzione di test che scelgo in modo arbitrario ne conosco la derivata per cui in conseguenza conosco la derivata della distribuzione ( vds 2 ).

Sia \(X_{T}(t)=rect(\frac{t-n T_0}{T_0})x(t)\) la troncata centrata in \(T_0\) relativa al periodo base di un segnale periodico \(x(t)\) e sia

\begin{equation} \begin{split} X_{p}(t)=\sum_{n=-\infty}^{n=\infty} X_{T}(t - nT_{0})=\\ \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} G(n)e^{j2\pi \frac{n}{T_{0}}t } \end{split} \end{equation}

la ridefinizione del segnale periodico in cui l'ultima uguaglianza si ricava dalla definizione della SDF dove il coeficente si ottiene dalla seguente :

\begin{equation} \label{eq:4} \begin{split} G(n)=\frac{1}{T_0}\int_{-\infty}^{\infty}X_{T}(t)e^{-j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}d_{t} = \\ \frac{1}{T_{0}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)rect(\frac{t -n T_0}{T_0})e^{-j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}d_{t}=\\ \frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2} x(t)e^{-j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}d_{t} = \\ f_{0}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2} x(t)e^{-j2\pi nf_{0}t}d_{t}=f_{0}G(nf_{0}) \end{split} \end{equation}

in cui l'ultima uguaglianza è ottenuta con la sostituzione \(f_{0}=\frac{1}{T_{0}}\) per cui la SDF può essere riscritta come :

\(X_{p}(t)=f_{0}\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}G(f)e^{j2\pi nf_{0}t }\)

ed applicando la TDF di un segnale complesso si ottiene

\(X_{p}(t) \Rightarrow X_p(f)=f_{0}\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}G(f)\delta(f - nf_{0})\)

Sia

\begin{equation} \label{eq:101 } \begin{split} x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}\delta(t - nT_{0}) \end{split} \end{equation}

un segnale periodico come mostrato in fig. 8 che in analogia con quanto visto per i segnali periodici \(x_p(t)\) può essere riscritto come ripetizione della troncata ottenuta come prodotto delta centrata in \(0\)

\begin{equation} \label{eq:102 } \begin{split} \delta(t -nT_0)=rect(\frac{t-nT_0}{T_0})\delta(t) \end{split} \end{equation}

per cui

\begin{equation} \label{org955ca1a} \begin{split} x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}\delta(t -nT_0)=\\ \sum_{n=-\infty}^{n=\infty}rect \left( \frac{t - nT_0}{T_0} \right ) \delta(t)=\\ \sum_{n=-\infty}^{n=\infty}G_{\delta}(n)e^{j2\pi \frac{n}{T_{0}}t} \end{split} \end{equation}

dove il coeficente della SDF ( in analogia con la \eqref{eq:4} ) vale :

\begin{equation}\begin{split} \label{orga483ad3} G_{\delta}(n)=\frac{1}{T_{0}}\int_{-\infty}^{\infty}rect \left ( \frac{t - nT_0}{T_0} \right ) \delta(t)e^{-j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}d_{t}=\\ \frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2} \delta(t) e^{-j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}d_{t}=\\ \frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2} 1 d_{t}=f_0 \end{split}\end{equation}

e dunque la SDF diventa

\begin{equation} \label{org1ba5c51} x_p(t)=f_{0}\sum_{n=-\infty}^{n=\infty} 1e^{j2\pi nf_{0}t} \end{equation}

la cui TDF, per la definizione di TDF di funzione periodica diventa :

\begin{equation} \label{org96ef55d} x_{p}(t) \Rightarrow X_{p}(f)=f_{0}\sum_{n=-\infty}^{n=\infty} \delta(f - nf_{0}) \end{equation}

L'immagine nel seguito mostra la rappresentazione del pettine di Dirac